Opérateur compact, où est la faute ?

Phare

Bonjour
J'ai l'impression de montrer que si H est un [large]H[/large]ilbert, T un opérateur compact de H dans lui même alors
$T(B)$ est fermé (où $B$ est la boule unité fermée de H).

Voilà la "preuve".
Soit $y\in \overline{T(B)}$ montrons que $y\in T(B)$.

Alors il existe $y_n \in T(B) $ tel que $y_n =T(x_n)\to y$
Avec $x_n \in B$. Comme on est dans un Hilbert $x_n$ admet une sous-suite faiblement convergente $x_{\phi(n)}\rightharpoonup x$.
$T$ compact implique $y_{\phi(n)} \rightarrow T(x)$ donc $T(x)=y$.
Or on a que $ ||x|| \leq \liminf ||x_n|| \leq 1$ donc $x \in B$ d'où $y\in T(B)$.
Voyez-vous une erreur ?

[David Hilbert (1862-1943) prend toujours une majuscule. AD]

Poirot

Ça me semble correct. Ce résultat est cité dans le point 3) du Théorème 5.1.2 de http://math.univ-lyon1.fr/~chalenda/m2g-chap5.pdf

Phare

Merci Poirot parce que j'avais beau remuer ce raisonnement (simple) dans tous les sens je ne voyais pas de faute.
Mais du coup on peut définir les opérateurs compacts comme ceux dont l'image de la boule fermée est compacte.

Merci.

Boole et Bill

Personellement, c’est même cette définition que je connais :-)