Compact, nombre de feuillets

Bonjour,

Soit $B$ espace topologique connexe et compact, et $ p : E \to B$ un revêtement.

J'ai démontré que si $E$ est compact, alors le nombre de feuillets de $p$ est fini. Je me demande maintenant : est-ce que si le nombre de feuillets de $p$ est fini, alors $E$ est compact ?
J'ai réussi à prouver qu'alors $E$ est séparé, mais je n'arrive pas à montrer la quasi-compacité de $E$, ni à trouver de contre exemple.

Merci

Réponses

  • Peux tu définir tes mots (feuille, revêtement etc)?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Revêtement

    Nombre de feuillets : cardinale de $p^{-1}(b)$ pour n'importe quel $b \in B$, bien défini car $B$ est supposé connexe.
  • Christophe : il s'agit de mots usuels, on ne va pas tout redéfinir à chaque fois !

    Johnsmoke : la réponse est oui. Un plan d'attaque est le suivant : recouvre $B$ d'ouverts $U_i$ dont l'adhérence est incluse dans un ouvert $V_i$ trivialisant ($B$ est localement compact car compact), prends en un nombre fini. $E$ est alors une réunion finie de compacts (je te laisse remplir les trous ;-) )
  • Bin moi je ne les connais pas!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci Matimax tu m'as donné l'idée qu'il me manquait.


    Pour tout $x \in B$, je note $V_x$ un ouvert trivialisant, et je note $n \in \Bbb N$ le nombre fini de feuillets de $p$.

    Alors la famille $(V_x)_{x \in B}$ recouvre $B$, et puisque $B$ est compact donc localement compact, on peut pour tout $x \in B$ trouver une ouvert $U_x$ contenant $x$ et d'adhérence incluse dans $V_x$, et bien sur $(U_x)_{x \in B}$ est un recouvrement.

    Par compacité de $B$, on en extrait un sous-recouvrement fini $( U_{x_i} )_{ i \le m}$.
    Alors pour chaque $i \le m$, on a que $p^{-1}(\overline{U_{x_i}})$ est un compact car réunion de $n$ parties homéomorphes à $\overline{U_{x_i}}$ qui est compact (c'est là que l'hypothèse du nombre de feuillets fini intervient).

    Puis $E$ est réunion des $m$ parties compacts $p^{-1}(\overline{U_{x_i}})$ pour $i \le m$, donc est compact comme réunion d'un nombre fini de compacts.

    Cela me semble correct, j'ai essayé de faire très proprement.
  • Oui ça marche !
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