Une chance sur deux d'être pair

JLT

Inspiré d'un autre fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1773254,1773254#msg-1773254 :

Soit $X$ une variable aléatoire Gaussienne centrée Edit: dont la densité est de la forme $\mathbb{1}_{\R^+}(x)P(x)e^{-x^2}$ où $P$ est un polynôme. Montrer que
$$\lim_{t\to +\infty} \mathbb{P}\left(\lfloor tX\rfloor \in 2\Z\right)=\frac{1}{2}.$$

Proposer des généralisations à d'autres types de variables aléatoires.

Corto

Je suppose que ça marche pour toute variable aléatoire à densité continue, c'est une espèce de somme de Riemann. Pour des densités discontinues je ne sais pas trop et si on s'autorise des atomes alors il y a des contre exemples évidents ($X=1$ par exemple).

Par contre je n'arrive pas à voir le rapport avec l'autre fil, pourrais-tu expliquer ?

JLT

Le rapport avec l'autre fil, c'est que si $f$ est la fonction de l'autre fil et si $t>0$, alors $\displaystyle \int_{1/t^2}^\infty f(x)\,dx=2\sum_{n\geqslant 1} (-1)^{n+1}\varphi\bigg(\frac{n}{t}\bigg)$ où $\varphi(x)=e^{-x^2/2}$, tandis que si $F$ est la fonction de répartition de $X$ alors $\displaystyle \mathbb{P}\left(\lfloor tX\rfloor \in 2\Z\right)=\sum_{n\in\Z}(-1)^{n+1}F\bigg(\frac{n}{t}\bigg)$.

(Edit: il y a un abus de notation dans ma dernière formule, chaque terme avec $n$ impair doit être regroupé avec $n-1$ avant de faire la somme.)

aléa

La gaussienne étant symétrique, il me semble que l'égalité est vraie pour tout $t$, non ?

JLT

Euh, oui c'est vrai, je vais modifier ma question pour la rendre moins triviale. C'est fait, voir modification en rouge dans mon premier message.

Corto

Soit $X$ une variable aléatoire à densité continue et à support compact (pour éviter quelques epsiloneries), on note $f$ sa densité.

\[\lfloor tX \rfloor =2k \Leftrightarrow tX \in [2k,2k+1[ \Leftrightarrow X \in [\frac{2k}{t},\frac{2k+1}{t}[ \]

On a alors
\[
1=\mathbb P(\lfloor tX \rfloor\in 2\Z)+\mathbb P(\lfloor tX \rfloor\in 2\Z+1)=\sum_{k\in 2\Z} \int_{2k/t}^{(2k+1)/t}f(x)\mathrm d x + \sum_{k \in 2\Z} \int_{(2k+1)/t}^{2(k+1)/t} f(x) \mathrm d x= P_1+P_2.
\]
Ces sommes sont finies puisque $f$ est à support compact. Par continuité uniforme de $f$, pour tout $\varepsilon>0 $ on va avoir, pour $t$ assez grand, $|x-y|\leq 2/t \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Par conséquent
\[
|P_1-P_2| < \varepsilon (|\mathrm{supp}(f)|+1)
\]
et ainsi $P_1=P_2=1/2$.


Pour une VA aléatoire de densité $f$ avec $f\in L^1(\R)$ ça marche pareil en approchant (en norme $L^1$) $f$ par une fonction continue à support compact.

Foys

Soit $f:\R \to \R$ une fonction continue et positive, croissante sur $]0,+\infty]$, décroissante sur $[0,+\infty[$ et telle que $\int_{\R} f = 1$ comme par exemple $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left ( - \frac{x^2}{2}\right )$.
Soit $T>0$.
Soit $x\in \R$.
Si $\lfloor Tx \rfloor$ est pair i.e. s'il existe $k\in \Z$ tel que $\frac{2k}{T} \leq x < \frac{2k+1}{T}$, on pose $f_T(x):= f(x)$.
Si $\lfloor Tx \rfloor$ est impair i.e. s'il existe $k\in \Z$ tel que $\frac{2k+1}{T} \leq x < \frac{2k+2}{T}$, on pose $f_T(x):= f\left ( x - \frac{1}{T}\right )$.

Alors pour tout $x\in \R$ et tout $T>1$, $0 \leq f_T(x) \leq g(x)$ où $g(x):=f(x+1)$ si $x<-1$, $g(x):=f(0)$ si $-1\leq x < 1$ et $g(x):=f(x-1)$ si $x>1$; $g$ est évidemment intégrable comme $f$.
Le théorème de convergence dominée garantit donc que $\int_{\R} f_T$ tend vers $1=\int_{\R} f$ lorsque $T\to +\infty$ (puisque $f$ est continue, $T \mapsto f_T$ converge simplement vers $f$).

On considère une variable aléatoire réelle $X$ de densité $f$.
Alors $$\begin{align}P\left ( \lfloor Tx \rfloor \text{ pair}\right ) & = P \left ( \exists k\in \Z: \frac{2k}{T} \leq X < \frac{2k+1}{T} \right ) \\
& =\sum_{k\in \Z} \int_{\frac{2k}{T}}^{\frac{2k+1}{T}} f(s)ds \\
& = \frac{1}{2}\sum_{k \in \Z}\left (\int_{\frac{2k}{T}}^{\frac{2k+1}{T}} f(s)ds+ \int_{\frac{2k+1}{T}}^{\frac{2k+2}{T}} f\left (s- \frac{1}{T} \right )ds \right) \\
& = \frac{1}{2} \sum_{m \in \Z} \int_{\frac{m}{T}}^{\frac{m+1}{T}} f_T(s) ds \\
& = \frac{1}{2} \int_{\R} f_T(s)ds
\end{align}$$

La troisième ligne est un simple changement de variable: on a égalité entre $\int_{\frac{2k}{T}}^{\frac{2k+1}{T}} f(s)ds$ et
$\int_{\frac{2k+1}{T}}^{\frac{2k+2}{T}} f\left (s- \frac{1}{T} \right )ds$ pour tout $k$.
Le résultat suit.

EDIT: c'est plus le même exo!!

Foys

une fonction $x \mapsto |P(x)| e^{-x^2}$ où $P$ est un polynôme, est décroissante pour $x$ assez grand donc l'argument que j'ai indiqué plus haut s'adapte et le résultat est encore vrai.