Limite non mesurable de fonctions mesurables

Corto

Prenons un espace mesurable $(X,\Sigma)$ et $f_n : X\to \R$ une suite de fonctions mesurables pour la tribu borélienne sur $\R$. On sait alors que l'ensemble des points où $(f_n)$ converge est mesurable et que si $(f_n)$ converge vers $f$ alors c'est encore une fonction mesurable.

Par exemple il suffit d'écrire l'ensemble des points de convergence comme \[

\{x\in X : \forall i \in \N^*, \exists j\in \N , \forall k\geq j, |f_k(x)-f_j(x)|<1/i \} = \bigcap_{i\in \N^*} \bigcup_{j\in \N} \bigcap_{k\geq j} \{|f_k-f_j|<1/i\}.

\] Cet ensemble est bien mesurable parce que les unions et intersections sont dénombrables. Je me demande comment se généralise cet énoncé lorsque les $f_n$ sont à valeurs dans un espace topologique séparé $(Y,\mathcal T)$ plus général. Pour la démonstration que j'ai donnée plus haut on a utilisé le fait que $\R$ était métrique (base dénombrable de voisinages) et complet (caractérisation de la convergence par le critère de Cauchy). Par conséquent le résultat sera encore vrai si $Y$ est complètement métrisable. J'ai donc deux questions.

1) Connaissez-vous une démonstration dans un cadre plus général ? le fait que $Y$ soit à base dénombrable de voisinages me semble nécessaire mais pour la complétude je trouverais ça étrange quand même...
2) Connaissez-vous un contre exemple ? Une suite de fonction mesurable qui convergerait vers une fonction non mesurable.

Georges Abitbol

Bonjour,

tu as un peu de grain à moudre ici.

Corto

Merci pour la lecture.

Il y a un contre exemple dans le cas ou on enlève l'hypothèse de séparation, mais c'est un peu de la triche :-D.

Par contre dans la première réponse il utilise l'hypothèse suivante : tout fermé admet une base dénombrable de voisinage. Cette hypothèse me semble assez étrange. En effet si on regarde $\N$ dans $\R$ pour la topologie usuelle c'est un fermé qui n'a pas de base dénombrable de voisinages :
Supposons que $(V_n)_n$ soit une base dénombrable de voisinages de $\N$, pour tout $n,k\in \N$ on note $u_n^k=\sup \{r >0 : B(k,r)\subset V_n\}$. On sait que $u_n^k>0$ pour tout $n,k \in \N$ et on pose $U= \bigcup_{k=0}^\infty B(k,u_k^k/2)$, c'est bien un ouvert en tant qu'union de boules ouvertes et il contient évidemment $\N$. Cependant on n'a $V_n\subset U$ pour aucun entier $n\in \N $ (il suffit de regarder autour du point $n$).

Foys

Corto a écrit:

Par contre dans la première réponse il utilise l'hypothèse suivante : tout fermé admet une base dénombrable de voisinage. Cette hypothèse me semble assez étrange.

En tout cas dans un espace métrique, tout compact admet une base dénombrable de voisinages.