Aide exercice de topologie générale

Bonjour
Après avoir répondu aux question 1) et 2), je bloque sur la 3) et aimerais si possible un petit peu d'aide. Mon idée principale pour la 3) est la suivante.

Il s'agit donc compte tenu de 1) de montrer que $\ker(r_*)i_*(\pi(A,a)) = \pi(X,a)$, et le résultat en découle.
Supposons donc $ \ker(r_*)$ et $ i_*(\pi(A,a)) $ distingués et soit $ g \in \pi(X,a)$.
On peut trouver $n_1 \in i_*(\pi(A,a)) $, $ k_1 \in \ker(r_*) $ et $g_1 \in \pi(X,a) $ tels que $ g = g_1k_1n_1$.
On réitère avec $g_1$ pour obtenir $ g = g_2k_2n_2k_1n_1$ avec des notations évidentes, puis on applique le résultat du 2) pour obtenir $ g = g_2k_2k_1n_2n_1$.
On peut pour tout $p \in \mathbb{N}$ réitérer pour obtenir $g = g_pk_p\cdots k_1n_p\cdots n_1$.
Si alors j'arrive à montrer qu'il existe un certain $p$ tel que $g_p \in \ker(r_*)$ ou $g_p \in i_*\big(\pi(A,a)\big)$, alors c'est gagné. C'est donc là que je bloque. Peut-être que ma méthode n'est pas bonne aussi et que je manque quelque chose.

Merci d'avance pour toute aide utile.84288

Réponses

  • La question 3 est juste de la theorie des groupes basiques : tu as une suite exacte courte $1 \to \ker(r_*) \to \pi_1(X,a) \to \pi_1(A,a) \to 1$ (l'exactitude en $\pi_1(A,a)$ provient de l'identite $r_*i_* = id_{\pi_1(A,a)}$) qui est de plus scindee (par $i_*$ !); donc l'extension s'exprime comme un produit semi-direct; la condition de 2) impose que c'est en fait un produit direct.

    Si tu veux une preuve de ce fait, prends un element $x$ de ton groupe, applique lui $i_*r_*$, et regarde la difference : ou se trouve-t-elle ?

    (PS : desole pour le manque d'accents, je suis sur un clavier etranger)
  • Après avoir bien tout relu parce que je m'embrouille pas mal avec tout ça, je crois avoir compris que ce que j'essayais de montrer avant était la surjéctivité de $r_*$, qui se montre effectivement facilement par ta formule $ r_*i_* = id_{\pi(A,a))}$. Pour le reste je suis d'accord, une fois qu'on a la suite exacte scindée par $i_*$ : $1 \to \ker(r_*) \to \pi_1(X,a) \to \pi_1(A,a) \to 1$, on conclut facilement.

    Je crois que ton intervention répond parfaitement à mon interrogation et m'a débloqué, je te remercie.
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