Série-intégrale de Dirichlet

Bonsoir, j'essaye de calculer la somme suivante:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \int_{2n\pi}^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$

J'ai essayé une méthode en considérant la fonction $f(x,y)=\sin x e^{-xy}$ en calculant l'intégrale double sur $[0;a]\times[0;\infty[$ de $f$ de deux façons différentes avec Fubini pour avoir une expression du reste de l'intégrale de Dirichlet sous forme intégrale. Je me ramène finalement à devoir calculer:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-2n{\pi}t}}{1+t^2} dt$

mais je n'ai aucune idée de comment calculer la dernière intégrale, je ne sais même pas si la façon dont je m'y suis pris dès le début va me faire arriver au résultat...

Si vous avez des suggestions je suis preneur, merci :-)

Réponses

  • Une idée comme ça, mais j'ignore si elle marche : utiliser le théorème des résidus sur le bord d'un demi-disque qui s'appuie sur l'axe réel.
  • La seconde intégrale ne se calcule pas et d'ailleurs pour calculer certaines intégrales qui la font intervenir on se ramène à la première.

    Voici une méthode (niveau spé MP) pour calculer la somme demandée. Cela peut faire l'objet d'un problème.

    On pose $x=nt$ et on fait une IPP pour pouvoir permuter $\sum$ et $\int$
    On obtient $S=\displaystyle\int_{2\pi}^{+\infty}\dfrac{g(t)}{t^2}$ avec $g(t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1-\cos(nt)}{n^2}$
    On découpe l'intervalle d’intégration en la réunion des $[2k\pi,2(k+1)\pi]$ pour se ramener à $[0,2\pi]$
    On utilise la propriété $g(t) =\dfrac{t(2\pi-t)}4$ pour $t\in[0,2\pi]$
    On calcule alors l'intégrale sur $[0,2\pi]$
    On calcule une somme partielle et on utilise l'équivalent de Stirling.
    On obtient $S=\dfrac{\pi}2(2-\ln(2\pi))$.

    Pour obtenir la valeur de $g(t)$ on peut utiliser les séries de Fourier (qui ne sont plus au programme MP) ou bien intégrer l'égalité $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin(nt)}{n}=\dfrac{\pi-t}2$ pour $t\in\,]0,2\pi[$, avec convergence uniforme sur tout segment, que l'on obtient par un calcul astucieux des sommes partielles en écrivant $\dfrac1n=\displaystyle\int_0^1t^{n-1}dt$.
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