Suite exacte de modules

Phare

Bonjour à tous,
Je ne vois vraiment pas comment montrer l'équivalence suivant.

Etant donnée une suite exacte de $A$-modules $$
0\longrightarrow{E}\overset{f}{\longrightarrow}F\overset{g}{\longrightarrow}G\longrightarrow{0}

$$ Les conditions suivantes sont équivalentes.
a) Il existe une rétraction linéaire $r : F\rightarrow E$ associée à f (i.e. $r\circ f=id_F$)
b) Il existe une section linéaire $s : G\rightarrow F$ associée à g (i.e. $g\circ s=id_G$)

(Les examens sont vraiment la seule raison pour laquelle je pourrais m'infliger le supplice de faire de l’algèbre...)
Merci d'avance.

marsup

Bonjour,

Je crois que les deux hypothèses donnent les deux sens d'un isomorphisme $$

\left\{
\begin{array}{r@{}c@{}l}
E \oplus G & {}\to {} & F \\
a \oplus b & {}\mapsto{} & f(a) + s(b)
\end{array}
\right.

$$ et $$
\left\{
\begin{array}{r@{}c@{}l}
F & {}\to {} & E \oplus G \\
c & {}\mapsto{} & r(c) \oplus g(c)
\end{array}
\right.


$$ Il suffit de vérifier que vérifier que sous chacune des deux hypothèses ($\exists r/s$), le morphisme en question est un isomorphisme, et vérifier que son inverse donne l'autre scindage $s/r$.

Phare

Merci beaucoup Marsup!!
ça marche.

Si tu es toujours dans les parages connais tu cette notation : $Hom(u,1_F)$ oú $u$ est un homomorphisme entre deux modules et $F$ est encore un autre module.

Cordialement.

marsup

Non, je ne sais pas trop.

Je tenterais bien un truc un peu au pif :

si $u:E\to E$ et $v : F \to F$, alors on pourrait s'intéresser au module des
morphismes $\phi : E \to F$ qui sont tels que : $\phi \circ u = v \circ \phi$.

Peut-être qu'on peut noter ça $Hom(u,v)$ ?

Dans ce cas-là, $Hom(u,Id)$ est l'ensemble des morphismes tels que $\phi \circ u = \phi$, soit $\mathrm{im}(u-Id) \subset \ker(\phi)$, mais vraiment au pif...

Phare

Merci pour ton temps marsup,

Il s'agirait plutôt d'un homomorphisme, voici le contexte:

Soit $A$ un anneau, $E',E,E''$ trois $A$-modules, On suppose que la suite:
${E'}\overset{u}{\longrightarrow}E\overset{v}{\longrightarrow}E''\longrightarrow{0}$
est exacte.
Alors la suite :
$0\longrightarrow{Hom(E'',F)}\overset{\bar{v}}{\longrightarrow}Hom(E,F)\overset{\bar{u}}{\longrightarrow}Hom(E',F)$ est exacte.
oú on a posé $\bar{u}=Hom(u,1_F) , \bar{v}=Hom(v,1_F)$.

Malheureusement cette dernière notation n'a pas été introduite.

J'ai été tenté de poser $\bar{v}(g)=g\circ{v}$ avec $g:E''\rightarrow F$ car ça a l'air d’être la seul possibilité naturelle mais je ne vois aucune raison pour que $\bar{v}$ ainsi définie soit injective.

Edit: OH WAIT! elle est bien injective en fait.

Maxtimax

C'est la notation "fonctorielle". Si $f: A\to B, g: C\to D$, alors $\hom (f, g) : \hom(B, C) \to \hom(A,D)$ est définie paf $k\mapsto g\circ k \circ f$.

Ici tu as $g= 1_F$, l'identité de $F$ et $f=u$, donc $\hom (u, 1_F) (k) = 1_F\circ k\circ u = k\circ u$

Phare

@Maxtimax

Merci pour les éclaircissements.