nature de la serie

pat4

bonjour a tous,

qui connait la methode pour determiner la nature de la serie de terme general


$$\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{2+\sin(n)}}$$


je crois qu'il y a eu une discussion sur le site a ce sujet il y a quelques mois, mais je n'ai rien trouve.... et je n'arrive pas a me souvenir de la methode...
merci donc pour un tuyau ou une ref.

pl

Yalcin

je crois que elle tend vers +oo très très lentement.

Mat4

moi je vois ça assez simplement je ne sais pas si je me trompe mais bon .

-1<sin(n)<1 donc 2+sin(n)> 2-1=1.donc la serie converge

(il faut bien voir qu'il n'existe pas de n tel que sin(n)=1 ou-1 c'est tout).

Mat4

enfin j'espere que tu sais que : lorsque a(n) est du type n^(alpha)
la serie de term général an converge ssi alpha est plus grand que 1.Cela se montre simplement par le procede de comparaison série integrale.

Mat4

ah tient Yalcin désolé de te contredire encore une fois. peut etre qu'un jour on sera d'accord sur un exercice lol

ook

Bonjour,
Je ne connais pas la réponse, mais l'argument de mat conduit à l'échec.
On ne peut conclure aussi rapidement

Zantac

La série diverge. J'ai un pdf qui explique pourquoi, je te l'ai envoyé pat.

a0

effectivement, la comparaison avec les séries de riemann
$\sum \frac{1}{n^\alpha}$ ne marche pas du tout car il n'existe pas de $\alpha>1$ tel que $2+\sin(n) > \alpha$.

Par contre si Zantac pouvais expliquer l'idée de la divergence ou poster le pdf ce serait sympa.

MErci

jérome40

Pareil que monsieur a

Mat4

oups ah oui c'est vrai je me rends compte de mon erreur en fait pour tout n il existe un alpha(n) tq 2+sin(n)>alpha(n)>1.
Ce qui ne signifie pas que 2+sin(n)>alpha>1 ou alors dit autrement que l' inf alpha(n)>1.
Autant pour moi

Pilz0

tout est question d uniformite

Mat4

d'ailleur on doit meme pouvoir montrer que inf alpha (n) =-1.pour ça on doit construire nune suite de nk tq lim|1+sin(nk)|=0.
pour cela on peut deja essayer de trouver une suite d'entier qui approxime pi.

Mat4

heu pardon je voulais dire pi/2+2kpi pour un certain k dans Z

Mat4

encore une fois j'ai oublié le moins dans -pi/2+2kpi

Mat4

humm en fait j'ai l'impression que mon raisonnement n'aboutit à rien...

Zantac

Voilà le fichier.

pat4

encore merci...

Zantac

De rien. D'ailleurs, ce problème a occupé de nombreux esprits sur le forum il y a qq mois. Cela dit, je ne vois pas bien quels mots clés pertinents on pourrait trouver pour la retrouver. A moins que certains s'en souviennent....

Yalcin

donc j'avais raison moi ?

Mat4

oui Yalcin t'avais raison je dois m'incliner ...

Attioui Abdelbaki

Bonjour,
J'ai vu la démonstration du fichier pdf. Il me semble que c'est trop technique et il serait interessant de trouver une autre démonstration plus simple. Je n'ai pas dit que la démonstration du pdf n'est pas bonne loin de la elle est trés sophistiqué et elle necessite assez de bagages mathématiques.

Il ya une première idée vu que la série est à termes positifs c'est d'essayé ce comparer avec l'integrale
$$ \int_n^{n+1}\frac{1}{x^{2+\sin(x)} } dx$$
Bon courage
A+

oumpapah0

bonsoir,

une solution elementaire me parait improbable..

( la maitrise du comportement de Pi parait indispensable)

mais qui sait? bon courage..

Oump.

Mat4

moi j'avais une autre idée mais je ne sais pas si ça peut porter un résultat:

la premiere c'etait de montrer que l'inf sin(n)=-1 (on peut montrer ça par densité du sous groupe Z+2piZ dans R car pas discret).
Comme tu viens de le faire remarquer c'est une série à termes positifs alors une série est convergente ssi elle est commutativement convergente.
Donc ont peut ranger les termes dans tout les sens que l'on veut.
Bon mais comme l'inf sin(n)=-1 je peut trouver une suite nk=phi(n) tel que sin(nk)->-1.
A partir de là je construis une bijection qui met tout les termes chiants au début, et les meilleurs pour la fin.
Le problème c'est qu'après je me retrouve toujours avec mon 1+epsilon

Mat4

ça y est je crois que j'ai tout dans la main je sais pas mais que l'idée finale ce serait de faire la diff avec les sommes partielles de la série harmonique et en gros on obtient un terme général en 1/nk*(1-1/alpha^epsilon) en faisant tendre epsilon vers 0, le truc devient 1/nk qui est divergent. Je crois que même si ce n'est pas bien rédigé faute de temps l'idée est bien là.

corentin0

Même si tu trouves que la liminf de sin est -1, il faut avoir quand même une idée de sa fréquence d'apparition, ce qui est extrèmement difficile.
Une série qui admet parfois pour terme $\frac{1}{n}$ peut tout à fait converger, on peut par exemple considérer la série évidente qui vaut $\frac{1}{n}$ si n est un carré et 0 sinon...

Mat4

premièrement je dis juste que l'inf des sin(n)=-1 donc je peux construire une sous-suite sin(nk) décroissante tendant vers l'inf (ce qui me parait naturel).
Je suis tout à fait daccord avec ton exemple mais pour le moment je ne crois pas que ça me contredise

Mat4

pour mieux t'expliquer mon idée c'est d'écrire
1/n^(2+sin(n))=1/n*(1/n^(1+sin(n)));

puis 1/n-1/n^(2+sin(n))=1/n(1-1/n^(1+sin(n)));

maintenant je dis que inf sin(n)=-1 à une bijection près sur mes indices et pr tt epsilon positif je peux trouver un N tq pr k>N sin(k)<-1+epsilon.
Le reste je regarderai demain

Mat4

bon voilail ,je suis farichement reveille et me rends compte que mon raisonnement precedent ne mene à rien