Algèbres quadratiques

Bonjour,

Je ne suis pas certain que ces résultats (théorème en page 3 et 11) soient originaux, je suis sûr qu'ils ne sont pas importants mais si cela peut aider …


Je suis ouvert à toutes critiques constructives sur le fond ou la forme

Réponses

  • Hello,
    tout d'abord, c'est très courageux (désolée, je suis sur un p...n de clavier anglais, je ne peux mettre les accents [OK ;-) AD]) de faire la classification à la main. Je n'ai pas tout lu, mais ça m'a l'air correct, bravo !!

    Le truc est que tu as réinventé l'eau chaude, mais ça, tu t'en doutais déjà. Personnellement, je trouve que se passer d'anneaux quotients obscurcit beaucoup le propos, mais je ne sais pas si tu sais ce que c'est. Ta méthode donne donc plein d'algèbres qui semble nouvelles, mais qui ne le sont pas tant que ça.

    Je me permets donc de revisiter ta prose avec des quotients.

    Une $K$-algèbre quadratique $A$ possède une base (comme e.v.) de la forme $(1,\alpha)$ où $\alpha$ n'est pas dans $K$. Comme $(1,\alpha,\alpha^2)$ est liée, on voit que $\alpha$ est racine d'un polynôme $P$ unitaire de degré 2.

    Le morphisme d’évaluation en $\alpha$ induit un morphisme de $K$-algèbres $K[X]/(P)\to A$ clairement surjectif, donc bijectif au vu des dimensions.

    On peut donc se réduire à iso près à $K[X]/(P)$. Maintenant, si $K$ est de caractéristique différente de 2, un changement de variables nous ramène à $K[X]/(X^2-d)$.

    Si $d=0$, c'est $K[X]/(X^2)$, l’algèbre des nombres duaux. Si $d$ est un carré, le lemme chinois donne un iso avec $K^2$. Si $d$ n'est pas un carré, on obtient un corps.

    Avec $K=\mathbb{R}$, dans le dernier cas, on obtient les nombres complexes.

    Si $K$ est de caractéristique 2, on a deux cas. Si le terme en $X$ est nul, on a $K[X]/(X^2-d)$. Si $d$ n'est pas un carré, on obtient un corps. Si $d$ est un carré, une translation montre que l'on a $K[X]/(X^2)$.

    Si le terme en $X$ est non nul, on obtient après changement de variables $K[X]/(X^2+X-d)$.

    Si $d$ n'est pas de la forme $a^2+a$ avec $a$ dans $K$, on a un corps. Sinon, on a $K^2$ par le lemme chinois.

    Amicalement,
    Mel.
  • Salut Mel

    D'abord merci pour ta réponse rapide, je clarifie un peu :

    Oui je suis familier des quotients (j'ai une formation de logicien, pas d'algébristes, mais on voit cela quand même :-) ).
    Je ne cherchais pas à exhiber de nouvelles algèbres et je sais bien que toutes celles-là sont connues

    Je suis tombé sur cette question un peu par hasard, et je trouvais sympa le lien entre le nombre d'algèbre différentes que l'on peut fabriquer ainsi et le nombre de classes d'une relation d'équivalence.


    Merci encore

    Médiat
  • En tous cas, document sympathique.
  • J'approuve la suggestion de Melpomène pour simplifier et uniformiser : étant donnée une algèbre associative unitaire de dimension $2$ sur un corps, on choisit un élément $\alpha$ qui n'est pas un multiple scalaire de l'unité et on discute selon le nombre de racines du polynôme minimal de $\alpha$, qui est de degré $2$. Selon qu'il en a $0$, $1$ ou $2$ on trouve une extension de degré $2$ de $\newcommand{\K}{\mathbf{K}}\K$ (car dans ce cas le polynôme est irréductible et le quotient est un corps), l'algèbre des nombres duaux $\K[\epsilon]/(\epsilon^2)$ (poser $\epsilon=X-a$ où $a\in\K$ est la racine) ou le produit direct $\K^2$ (c'est le lemme chinois).

    Quelques remarques plus locales :
    • je n'avais jamais vu le nom « algèbre quadratique » pour des algèbres unitaires de dimension $2$ ; en revanche, il est utilisé pour une autre classe d'algèbres (de dimension infinie en général) : les algèbres unitaires qui admettent une présentation dont les relations sont homogènes de degré $2$ ; par exemple, les algèbres de polynômes et les algèbres extérieures sont des algèbres quadratiques ;
    • l'unité ne figure pas dans la définition de 1.2.1 mais elle semble une évidence dans 2.1 : pourquoi ?
    • quid de l'associativité ?
    • dans $\K^2$ (paragraphe 1.2.2), il y a bien une unité mais ce n'est pas $(1,0)$ puisque $(1,0)\times(0,1)=(0,0)$ ; l'unité est $(1,1)$ ;
    • la dénomination « nil-carré » serait avantageusement remplacée par « nilpotent » ;
    • pourquoi appeler $\R^2$ (vu comme l'algèbre $\K^2$ de 1.2.2 avec $\K=\R$) les « complexes fendus » ? pourquoi noter $\C_2$ et appeler « BiComplexes » (et pourquoi les majuscules ?) ce qui est $\C^2$ ?
  • Bonsoir
    Merci de votre réponse

    J'ai trouvé le nom algèbre quadratique sur wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbre_sur_un_corps
    L'unité ne figure pas dans la définition générale d'une algèbre, mais la définition des algèbres quadratiques fait qu'il y en a une.
    L'associativité se démontre trivialement, comme la commutativité.
    L'unité est bien $(1, 0)$, la multiplication n'est pas la multiplication terme à terme
    nilpotent est plus général que nil-carré ($x^n = 0$ au lieu de $x^2 = 0$
    les complexes fendus (même si je préfère perplexes) et les bicomplexes sont des dénominations standard, la notation $\mathbb C_2$ vient du mode de construction qui permet de créer $\mathbb C_3$, $\mathbb C_4$ etc.

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