Idéal radiciel

Bonjour

Soient R un anneau commutatif unitaire, $M $ un $R$-module, $B$ un idéal radiciel de $R\propto M$. Alors $(0\propto M)^2 = \{0\}\subseteq B$. Par conséquent $(0\propto M) \subseteq B$.

Mes questions.
1°) Où est-ce qu'on a utilisé le fait que $B$ est un idéal radiciel ($\sqrt{B} =B$) ?
2°) $0\propto M$ est un idéal nilpotent. Je n'arrive pas à le montrer !
3°) Si $B$ était maximal au lieu de radiciel, où est-ce qu'intervient la maximalité pour avoir $(0\propto M) \subseteq B$ ?
Merci pour toute réponse ou indication.

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. AD]
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