Quelques questions d'algèbre

Bonjour,

J'aurais souhaité savoir s'il était possible de montrer que l'ensemble :
$ \displaystyle H:= \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\ ;\ a\in \mathbf{R} \right\}$

est un sous-groupe de ${\rm SL}_2( \mathbf{R} )$ en trouvant un homomorphisme $\varphi $ telle que $H = {\rm Ker}(\varphi )$.

Cordialement.

Réponses

  • Non, car ce sous-groupe n'est pas distingué dans $SL_2(\R)$, alors qu'un noyau est toujours distingué.
    Pour voir qu'il n'est pas distingué, calculer par exemple $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1& 1 \end{pmatrix}^{-1}$
  • Ou \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1& 0 \end{pmatrix}^{-1}.\] (Je propose cette conjugaison en plus de celle de Maxtimax parce qu'on devrait voir sans calcul qu'elle revient à permuter les lignes et les colonnes en ajoutant quelques signes, c'est plus facile que la précédente.)
  • Ok, c'est dommage.

    J'ai une autre question : je travaille dans l'anneau $A:=\mathbf{C}[X,Y]$ des polynômes à coefficients complexes à deux indéterminées. Je considère l'idéal $I:=(X^2+Y^2-1)$ et je cherche à identifier l'anneau quotient $A/I$. Pour ce faire, je prends $P\in A$. Puisque $A$ peut-être vu comme $(\mathbf{C}[Y])[X]$ donc $P(X,Y)= \sum_{k=0}^n Q_k(Y) X^k$. Or si $X^2+Y^2-1=0$ alors $Y^2=1-X^2$ et ainsi, on peut trouver deux polynômes $A, B\in \mathbf{C}[X]$ tels que l'on ait $P(X,Y)= A(X) + B(X) Y$. Donc je dirais que $A/I$ est isomorphe à $\mathbf{C} [X]\times \mathbf{C} [X]$, lequel est isomorphe à... je ne sais pas trop. J'ai pensé à $(\mathbf{C}\times \mathbf{C}) [X]$ (est-ce un anneau ?), ou $\mathbf{C} [X]$...
  • $\mathbb{C} [X]\times \mathbb{C} [X]$, comme tout anneau produit non trivial n'est pas intègre, donc il ne risque pas d'être isomorphe à $\mathbb{C} [X]$. Tu peux munir $\mathbb{C}\times \mathbb{C}$ d'une structure d'anneau non intègre en définissant les opérations composante par composante, et donc $(\mathbb{C}\times \mathbb{C})[X]$ a bien un sens. Il est facile de voir que $(a,b)X \mapsto (aX,bX)$ définit bien un isomorphisme entre les deux.
  • Tu peux ouvrir un autre fil pour poser cette question qui n'a pas grand chose à voir.

    Quelques éléments : déjà il te faudrait montrer que les $A$ et $B$ que tu obtiens sont uniques. Ensuite tu remarqueras que $(A + YB)(C+YD) = AC + Y(BC+AD) + Y^2BD = AC+(1-X^2)BD + Y(BC+AD)$ pour $A,B,C,D\in \C[X]$, donc $(A,B) \mapsto A+YB$ a peu de chances d'être un isomorphisme.
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