Équation fonctionnelle

jeem

Bonjour
J'ai besoin de votre aide pour résoudre un exercice.

Il faut trouver les fonctions continues $f$ telles que : \[\int_0^x f=f(x)^2+C\] pour un certain $C\in\R$.

Après avoir cherché un peu je pense que les seules solutions sont la fonction nulle et la fonction linéaire de coefficient directeur $\frac{1}{2}$.
Aidez-moi s'il vous plaît.

rakam

Bonjour !
Que penser de $0\leqslant x\leqslant1\implies f(x)=0,\;x\geqslant 1\implies f(x)=\dfrac{(x-1)}2$ et $f$ impaire ?

Que proposer lorsque $C=1$ ? $C<0$ ?

Dom

En effet, on démontre que pour les réels $x$ tels que $f(x)\neq 0$, $f'(x)=\frac{1}{2}$.

Mais quand $f$ s'annule, il y a un peu plus de travail.

Remarque : on démontre que $f^2$ est dérivable (comme primitive d'une fonction continue), mais a priori, on ne sait pas si $f$ l'est...

Phare

@Rakam
bien vu

jeem

Merci pour vos réponses.

Du coup il n'y a pas l'air d'avoir de réponse simple.

P.

Soit $Z_+=\{x, f(x)>0\}$ et $Z_-=\{x, f(x)<0\}$ Montrons que si $Z_-$ n'est pas vide, alors c'est un intervalle borne symetrique $]-c,c[$ sur laquelle $f(x)=\frac{x^2-c^2}{2}.$ En effet, comme $f$ est continue, alors $Z_-$ est un ouvert et donc une reunion finie ou denombrable d'intervalles ouverts deux a deux disjoints. Soit $]a.b[$ l'un de ces intervalles. Alors comme $f^2$ y est derivable et strictement positive , cela entraine que $f$ est derivable. Comme $f(1-2f')=0$ cela entraine que $ f(x)=\frac{x^{2}}{2}+C_1$ sur $]a,b[.$ En particulier $a$ et $b$ sont finis. Toutefois $f$ s'annule en $a$ et $b$ et donc $C_1=-c^2/2$ et $-a=b=c.$ Toujours en supposant $Z_-$ non vide supposons de plus que $Z_+$ est non vide. Si $]c,\infty[\cap Z_+$ est non vide, en poursuivant le meme raisonnement $]c,\infty[\cap Z_+=]c_1,\infty[$ avec $c_1\geq c$ et $f(x)=\frac{x^2-c_1^2}{2}$ sur cet intervalle. Meme genre de raisonnement si $,-\infty,-c[\cap Z_+$ est non vide avec $f(x)=\frac{x^2-c_2^2}{2}$ sur $]-\infty,-c[\cap Z_+=]-\infty,-c_2[\cap Z_+$.Dans $[-c_2,-c]\cup[c,c_1]$ $f$ est nul. Evidemment,$ c_1$ et $c_2$ peuvent etre $+\infty.$


Enfin si $Z_-$ est vide et si $Z_+$ n'est pas vide, discussion du meme genre.$ Z_+$ ser une demi droite ou une droite.

YvesM

Bonjour,

Es-tu sûr que $f$ est quadratique ? Est-ce une typo ou une erreur qui annule ta démonstration ?

On cherche les fonctions numériques continues $f$ telles que $\int_0^x f(t) dt=f(x)^2+C$ avec $C$ une constante réelle.
$\bullet$ Si la fonction $f$ est définie en $0$ alors $0=f(0)^2+C$ et donc $C=-f(0)^2\leq 0$.

L’équation n’a donc pas de solution pour $C>0.$

On suppose donc que $C\leq 0$.
Une solution est donc $d: x \mapsto x/2-\sqrt{-C}, x\in \R.$

Pour $C=0$ :
Une solution est $f: x \mapsto {x+a\over 2},x\leq -a$ et $x\mapsto 0, -a\leq x\leq b$ et $x\mapsto {x-b\over2}, \geq b$ pour tout $a,b \geq 0.$ On peut aussi renvoyer $a,b$ à l’infini.

P.

Merci cher Yves. J'ai abuse prematurement des spiritueux.

rakam

Bonjour !
@ YvesM
Tu oublies que $f(0)$ peut être négative et on aurait alors $f'(0)=\dfrac{-1}2$.

Pour ta solution $d$ que se passe-t-il pour $x_0=2\sqrt{-C}$ ? Aucune raison que $f'$ reste strictement positive à gauche de $x_0$.
Ce qu'on peut dire si $f$ n'est pas identiquement nulle :
En supposant $f(x_0)>0$ on peut introduire l'intervalle $]a,b[\subset\bar{\R}$ tel que $\forall x\in]a,b[,\;f(x)>0$ donc $\forall x\in]a,b[,\;f'(x)=\dfrac 12$.
Si $a\in\R$ on aura $f(a)=0$ donc $\forall x\in]a,b[,\;f(x)=\dfrac{x-a}2$ et on en déduit $b=+\infty$.
Même remarque si $b\in\R$.

Pour $x<a$ difficile de dire ce qui va se passer ! Peut être examiner le cas $a>0$ et $f$ nulle sur $[0,a]$ (c'est une solution) ou ???