Commutativité de loi externe

Bonjour

Est-ce que la multiplication externe définie dans un $A$-module $M$ ($A$ est un anneau commutatif) est commutative ?
Autrement dit est-ce que : $a \times m =m \times a,$ où $a \in A$ et $ m \in M$.
Merci.

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques symboles. AD]

Réponses

  • Bonjour,

    La multiplication externe est définie de $A\times M$ dans $M$, donc je ne vois pas trop comment tu définis ou interprètes $m\times a$...
  • Bonjour @brian,

    en fait je veux montrer que R := {(a,e) \ a$\in$A et e$\in$E} est un anneau commutatif unitaire .(A=anneau commutatif unitaire et E= A-module) où : (a,e).(b,f) = (ab,af+be)
    Pour la la distributivité je me suis trompé dans les calculs ... désolé.

    J'ai une question concernant l'élément neutre de R :
    supposons que (b,f) est l'élément neutre de R alors (a,e) . (b,f) = (a,e) c'est-à-dire b=1 et af=0
    Est-ce que af=0 implique que f=0 et pourquoi ?
    Merci.
  • Ton raisonnement manque cruellement de quantificateurs. Pour obtenir $b=1$, tu as utilisé un $a$ particulier, non ? Maintenant, pose-toi la question : pour quels couples $(a,f)$ a-t-on nécessairement $af = 0$ ?
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