Poids de Muckenhoupt intégrable.

Salokin

Bonjour
Je suis à la recherche d'un exemple de poids dans la classe de [large]M[/large]uckenhoupt. Cette classe est définie de la manière suivante pour un exposant $p\in (1,+\infty)$ : $$

A^p(\mathbb{R}^d):=\bigg\{w\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^d)|\sup_{R>0}R^{-dp}\int_{B_R}w(x)dx\bigg(\int_{B_R}w(x)^{-\frac{1}{p-1}}dx\bigg)^{p-1}<+\infty\bigg\},

$$ où $B_R$ représente la boule de centre 0 et de rayon $R$.
Je cherche $w\in A^p(\mathbb{R}^d)\cap L^1(\mathbb{R}^d)$.
Quelqu'un a une idée ?
Merci.

[Les noms propres prennent toujours une majuscule. AD]

Phare

@salokin
Je pense que tu as un problème de notation:
_ qui est d ?
_Je pense que tu as oublié les valeurs absolues sur tes w.
_Il s'agit bien du produit de deux intégrales? (C'est assez bizarre)

Sinon as-tu essayé une gaussienne à une bonne puissance. Elles ne déçoivent jamais.
Cordialement.

Salokin

d correspond juste à la dimension. Il s'agit bien du produit des deux intégrales. Oui il manque les valeurs absolues (ou disons que je cherche des poids positifs). Je ne pense pas qu'une gaussienne fonctionne, la deuxième intégrale croit trop en R il me semble.

Phare

Et une fonction continue à support compact dont le support est loin de 0?

(Désolé pour la gausienne, je racontais n'importe quoi)

Edit:voir le message suivant de poirot.

Poirot

@Phare : c'était ma première idée, mais la puissance négative empêche de considérer des fonctions qui s'annule !

O.G.

Vous êtes sûrs que ça existe ?
En dimension 1, $p=2$ (mais si cela fonctionne alors $1<p<+\infty$) en faisant Cauchy-Schwarz sur $[r,2r]$, $1=w^{1/2}/w^{1/2}$, alors $w$ étant $L^1(\R)$ on montre que $r^2\int_r^{2r} 1/w$ tend vers l'infini, ce qui contredit la définition ?

O.G.

Salokin

C'est vrai que si $w$ est intégrable, alors $$

\lim_{R\rightarrow +\infty} \int_{-R}^{R}\frac{1}{w(x)}dx=+\infty.

$$ Mais il me semble qu'on peut quand même avoir (regardons effectivement pour $d=1$ et $p=2$ déjà) que $$

\sup_{R>0}R^{-2}\int_{-R}^{R}w(x)dx\bigg(\int_{-R}^{R}\frac{1}{w(x)}dx\bigg)<+\infty.

$$ Par exemple si on a $$

\int_{-R}^{R}\frac{1}{w(x)}dx\leq R^2.$$

Salokin

En fait il faut trouver $w$ intégrable tel que $\int_{-R}^{R}\frac{1}{w}$ croit en $R^2$.

O.G.

Je n'avais pas envie de tout écrire. Si $w>0$ est dans $L^1(\R)$ alors $\eta(r)=\int_r^{2r} w(t)dt$ tend vers 0 quand $r$ tend vers l'infini. Comme $1=\sqrt{w}/\sqrt{w}$ avec Cauchy-Schwarz on a \[

r=\int_r^{2r} 1 dt \leq (\eta(r))^{1/2} \Big(\int_r^{2r} \frac{1}{w(t)}dt\Big)^{1/2}.

\] D'où \[

\frac{r^2}{\eta(r)} \leq \int_r^{2r} \frac{1}{w(t)}dt.

\] Sauf erreur de ma part le terme ne peut être contrôlé en $r^2$.
O.G.

O.G.

@Salokin : même si la réponse est négative, est-ce ok ainsi ?