Boules dans un evn

Démarrelesprobas

Salut,

Soit $(E,N)$ un espace vectoriel normé (evn), $x\in E$ et $r\in\mathbf R_+^*$. On note :
$B_o(x,r)$ la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$
$B_f(x,r)$ la boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$

J'ai réussi à montrer que $\overline{B_o(x,r)}\subset B_f(x,r)$ mais je galère pour l'autre inclusion.

Math Coss

Où veux-tu que sois la limite d'une suite convergente $(x_n)$ telle que $\|x_n\|<r$ pour tout $n$ ? (Plantage...)

Étant donné $y$ de norme inférieure ou égale à $r$, vois-tu comment trouver une suite $(x_n)$ de vecteurs ayant une norme strictement inférieure à $r$ qui converge vers $y$ ?

Phare

@Probas
Donne toi un élèment de norme r (pour moi x=0) et trouve une suite d'èléments de la boule ouverte qui tendent vers cet élément.
2 indications:1.fais un dessin.
2. Les boules sont convexes.

Cordialement.

Poirot

Il s'agit de montrer que si $||y-x|| \leq r$ alors $y$ est limite d'une suite de vecteurs $(y_n)_n$ tels que $||y_n - x|| < r$ pour tout $n$, un dessin peut grandement aider.

Démarrelesprobas

Je pense avoir trouvé quelque chose mais je n'arrive pas à le justifier complètement.

Soit $y\in B_f(x,r)$. Il s'agit de trouver une suite $(y_n)$ d'éléments de $B_o(x,r)$ qui converge vers $y$.
Si $y=x$ alors la suite constante $(x)$ convient.
Supposons $y\neq x$. Comme $B_o(x,||y-x||)\neq\emptyset$, on peut choisir $y_0\in B_o(x,||y-x||)$. Ensuite, pour tout $n\in\mathbf N^{*}$, on choisit $y_n\in B_o(y_{n-1},||y-y_{n-1}||)$.

Or, si sur le dessin, j'ai l'impression que ça marche, je n'arrive :
- ni à montrer formellement que chaque $y_n$ est dans $B_o(x,r)$.
- ni à montrer formellement que $(y_n)$ tend vers $y$.

Math Coss

Imaginons un cas particulier : $E=\R$, $N=|\cdot|$. On fixe un réel $x$, un réel strictement positif $r$ de sorte que $B_o(x,r)=\left]x-r,x+r\right[$ et $B_f(x,r)=\left[x-r,x+r\right]$. Tu choisis $y\in B_f$.

Est-ce que dans la plupart des cas, une suite constante ne conviendrait pas ?

Si on prend par exemple $y=x+r$, comment est-ce que tu définirais une suite $(x_n)$ de points de $B_o$ qui tend vers $y$ ? Est-ce que c'est obligé d'entamer un truc si compliqué que ce que tu fais ?

babsgueye

Salut.

Est-ce qu'on ne peut pas démontrer d'une manière générale que si $A$ est fermé l'adhérence de l'intérieur de $A$ est $A$ ?

michael

On ne peut pas le démontrer, c'est faux.
Dans $(\mathbb{R},|.|)$, prendre $A=[0,1] \cup \{2\}$.

Philippe Malot

Bonjour,

On peut remarquer que $B_f(x,r)$ est l'union disjointe de $B_o(x,r)$ et de $S(x,r):=\{x\in E\mid\Vert x\Vert=r\}$.
Il suffit donc de démontrer que $S(x,r)$ est inclus dans l'adhérence de $B_o(x,r)$ (puisque $B_o(x,r)$ est bien entendu inclus dans son adhérence).
Il faut donc montrer que pour chaque point de la sphère, une boule ouverte centrée en ce point contient nécessairement des points de l'autre boule ouverte, par définition de l'adhérence.
On choisit $y$ dans $S(x,r)$ et un voisinage de $y$ qu'on peut supposer de la forme $B_o(y,r')$.
Le but est donc de démontrer que $B_o(y,r')$ et $B_o(x,r)$ ont une intersection non vide. Fais un petit dessin, et trace le segment $[x,y]$.
On remarque qu'une partie du segment est commune aux deux boules.
Pour formaliser cela, écris un élément $z$ de ce segment sous la forme $tx+(1-t)y$ avec $0<t<1$ (donc un point distinct de $x$ et de $y$) et montre qu'il est la fois dans $B_o(x,r)$ et dans $B_o(y,r')$ pourvu que $t$ soit assez petit.
Pour cela, il faut évidemment essayer de majorer $\Vert z-x\Vert$ et $\Vert z-y\Vert$.

Version suite : Montre que $\left(n^{-1}x+\left(1-n^{-1}\right)y\right)_{n\geqslant 1}$ est une suite d'éléments de $B_o(x,r)$ qui converge vers $y$.

babsgueye

On sait qu'un élément de la frontière d'une boule fermée appartient à l'adhérence de l'intérieur de cette boule. Il n'y a rien d'autre à démontrer !

Démarrelesprobas

@Philippe Malot : je bloque sur la fin du raisonnement avec les $t$. Je comprends que $]x,y[=\{tx+(1-t)y, t\in ]0,1[\}$ et sur le dessin qu'on cherche à prendre $t$ proche de $0$ pour être suffisamment (strictement) proche de $y$ pour être dans l'intersection. Mais ensuite je bloque, je n'arrive pas à montrer qu'il existe $t\in]0,1[$ tel que $tx+(1-t)y$ est dans l'intersection des deux boules.

Math Coss

Eh bien ! L'inégalité triangulaire te tend les bras : pour $\|y-x\|\le r$ et $t\in\left]0,1\right[$,
\[\bigl\|tx+(1-t)y-x\bigr\|=(1-t)\|y-x\|\le(1-t)r<r.\] Ainsi, tous les termes de la suite $\bigl(\frac1nx+(1-\frac1n)y\bigr)_{n\in\N^*}$ appartiennent à la boule ouverte ; de plus, sa limite est $y$.

Note que ceci n'a d'intérêt que si $\|y-x\|=r$, car si $\|y-x\|<r$, la suite constante égale à $y$ est formée de points de la boule ouverte et converge vers $y$.

Philippe Malot

Bonsoir,
Tu dois pouvoir montrer que $\Vert z-x\Vert=(1-t)r<r$ et que $\Vert z-y\Vert=tr$. Il suffit donc que $0<t<r'/r$ pour que $z$ soit dans $B_o(y,r')$.

Démarrelesprobas

C'est bon pour l'adhérence de la boule ouverte, j'ai tout rédigé au propre, merci.

Par contre, je bloque pour l'équivalent avec l'intérieur. L'inclusion $B_o(x,r)\subset Int(B_f(x,r))$ est évidente mais je bloque pour l'autre inclusion. Soit $y\in Int(B_f(x,r))$. Il existe $\rho > 0$ tel que $B_o(y,\rho)\subset B_f(x,r)$. Si $y\notin B_o(x,r)$ alors $||y-x||=r$. Je ne vois pas comment expliciter l'absurdité (avec $\rho$ j'imagine).

Math Coss

Pour $y$ à distance $r$ de $x$, tu ne vois pas des points arbitrairement proches de $y$ qui ne sont pas dans la boule fermée ?

Par exemple, $\rho$ étant fixé, pour $t$ assez petit, $y+t(y-x)$ est dans la boule $B_o(y,\rho)$ mais pas dans la boule $B_f(x,r)$. Tu peux écrire les inégalités qui le prouvent mais avant ça, tu peux te demander d'où vient cette intuition incroyable qui me guide... en regardant un dessin.

Démarrelesprobas

Merci, c'est bon, il suffit de prendre $t=\dfrac{\rho}{2r}$ (on peut supposer $\rho < r$).

Pour montrer que ces égalités sont fausses dans un espace métrique, il suffit de se placer dans $\mathbf R$ muni de la distance discrète pour laquelle on a :
$\overline{B_o(0,1)}=\{0\}\subsetneq \mathbf R=B_f(0,1)$
$B_o(0,1)=\{0\}\subsetneq \mathbf R=Int(B_f(0,1))$