Sécante focale d'une hyperbole
Bonsoir,
Voici une configuration tirée d'un problème du Bac 1950.
Dans le repère ci-dessous, on donne une hyperbole $\mathcal{H}$ de foyer $O$, de sommet $A(6;0)$ et de directrice $(d) : \, x=3$ associée à ce foyer.

Une droite passant par $O$ coupe $\mathcal{H}$ aux points $U$ et $V$ et $(d)$ au point $I$. On note $U'$ et $V'$ les projetés orthogonaux respectifs de $U$ et $V$ sur $(d)$, puis $U''$ et $V''$ les symétriques respectifs de $U$ et $V$ par rapport à $(d)$.
On demande de démontrer que les droites $(AU)$ et $(AV)$ sont les bissectrices de l'angle $\widehat{IAO}$ ce que j'ai réussi à faire en traquant les triangles isocèles.
Ensuite on introduit le point $M$, milieu de $[UV]$. On note $M'$ son projeté orthogonal sur $(d)$ et $M''$ son symétrique par rapport à $(d)$. On demande de démontrer que $MA=2MM'$ ($2$ est l'excentricité de $\mathcal{H}$), ce qui revient à montrer que les points $V, A, U$ et $M''$ sont cocycliques.
Il me semble qu'il devrait y avoir une démonstration assez simple sans recourir à l'analytique en exploitant que les bissectrices divisent harmoniquement $[OI]$, mais je tourne en rond... Merci pour votre aide !
Voici une configuration tirée d'un problème du Bac 1950.
Dans le repère ci-dessous, on donne une hyperbole $\mathcal{H}$ de foyer $O$, de sommet $A(6;0)$ et de directrice $(d) : \, x=3$ associée à ce foyer.

Une droite passant par $O$ coupe $\mathcal{H}$ aux points $U$ et $V$ et $(d)$ au point $I$. On note $U'$ et $V'$ les projetés orthogonaux respectifs de $U$ et $V$ sur $(d)$, puis $U''$ et $V''$ les symétriques respectifs de $U$ et $V$ par rapport à $(d)$.
On demande de démontrer que les droites $(AU)$ et $(AV)$ sont les bissectrices de l'angle $\widehat{IAO}$ ce que j'ai réussi à faire en traquant les triangles isocèles.
Ensuite on introduit le point $M$, milieu de $[UV]$. On note $M'$ son projeté orthogonal sur $(d)$ et $M''$ son symétrique par rapport à $(d)$. On demande de démontrer que $MA=2MM'$ ($2$ est l'excentricité de $\mathcal{H}$), ce qui revient à montrer que les points $V, A, U$ et $M''$ sont cocycliques.
Il me semble qu'il devrait y avoir une démonstration assez simple sans recourir à l'analytique en exploitant que les bissectrices divisent harmoniquement $[OI]$, mais je tourne en rond... Merci pour votre aide !
Réponses
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Je pense avoir trouvé, chercher une relation métrique est une fausse piste, il faut raisonner avec les angles.
$UMA$ est isocèle en $M$ d'où $(\vec{UA}, \vec{UM}) = (\vec{AM}, \vec{AU})$.
$UU''A$ est isocèle en $U''$ (triangle symétrique de $OUU''$ par rapport à $(d)$) d'où $(\vec{UA}, \vec{UU''}) = (\vec{AU''}, \vec{AU})$.
On déduit que $(\vec{UU''}, \vec{UM}) = (\vec{AM}, \vec{AU''})$.
Par symétrie par rapport à $(d)$, on a $(\vec{UU''}, \vec{UM}) = (\vec{U''M''}, \vec{U''U})$.
Puis, $(\vec{U''M''}, \vec{U''U}) = (\vec{M''U''}, \vec{M''M})$ (angles alternes-internes).
Finalement $ (\vec{AM}, \vec{AU''}) = (\vec{M''U''}, \vec{M''M})$ ce qui montre que le triangle $M''MA$ est isocèle en $M$, donc $MM'' = MA$. -
Merci Mieses
J'ai apprécié ta figure faite sur papier quadrillé comme au bon vieux temps!
Au baccalauréat, le bon élève aurait fait soigneusement ta figure mais aurait évidemment dessiné l'hyperbole à la main plus ou moins pifométriquement en interpolant comme il pouvait!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour ,
pour la 2° question , on peut aussi remarquer que M''M = 2 M''M' = M''O (point M'' sur l'hyperbole)
Et comme M''O = MA (symétrie) on a donc M''M = MA
Cordialement -
Exact. Je me suis laissé abuser par le schéma. Ça ne serait pas arrivé quand on n'avait pas de logiciel pour faire les figures.
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Bonjour!
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