Sous-espaces vectoriels fermés

Bonjour,

Je note $E$ le $\bf R$-espace vectoriel des applications continues et bornées de $\bf R$ dans $\bf R$, muni de la norme de la convergence uniforme $\| \cdot \|_\infty$. Je considère :

$E_- := \{ f\in E\ ;\ \forall x\in {\bf R}_-,\ f(x)=0\}$,

$E_+ := \{ f\in E\ ;\ \forall x\in {\bf R}_+,\ f(x)=0\}$,

$C=\{ c {\bf 1}\ ;\ c\in {\bf R} \}$, où ${\bf 1}$ désigne l'application constante égale à $1$.

Ma question est la suivante : peut-on montrer que $E_-$, $E_+$ et $C$ sont des sev de $E$ en montrant que ce sont des noyaux d'applications linéaires ? Je n'en suis pas sûr mais je propose de dire que $E_-$ et $E_+$ sont respectivement les noyaux de l'application qui à $f$ associe sa restriction sur ${\bf R}_-$ et sur ${\bf R}_+$. Ce qui me gêne un peu c'est que j'aurais voulu considérer des applications linéaires de $E$ dans lui-même. Ici j’atterris soit sur l'ensemble des applications continues et bornées de ${\bf R}_-$ dans $\bf R$, ou de ${\bf R}_+$ dans $\bf R$. Déjà, sont-ce des espaces vectoriels ? Je pense que oui, mais je ne sais pas si c'est immédiat.

Sinon pour $C$, j'aurais dit qu'il est le noyau de l'application qui à $f$ associe sa primitive s'annulant en $0$.

Cela me permettrait donc, moyennant la continuité de ces applications, d'en déduire que ces trois sous-espaces vectoriels sont fermés.

Merci pour votre aide.

Réponses

  • La fermeture se vérifie immédiatement avec des suites, puisque la convergence uniforme implique la convergence simple !

    Si tu y tiens vraiment, oui tu as bien décrit tes espaces $E_+$ et $E_-$ comme noyaux d'applications linéaires continues de $E$ dans $C^0_b(\mathbb R^+, \mathbb R)$ (respectivement $C^0_b(\mathbb R^-, \mathbb R)$), qui sont bien des espaces vectoriels normés munis de la norme uniforme.

    Pour $C$ par contre ton application linéaire n'est pas bien définie, en tout cas elle ne peut pas être continue, une telle primitive n'étant en général pas bornée ! Par contre l'application linéaire $f \mapsto f - f(0)$ convient, je te laisse vérifier qu'elle est bien continue et que son noyau est $C$. Bonus : elle est bien à valeurs dans $E$ ;-)
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