Lost in translation

Bonsoir
quand on dit la "translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$" combien de fois se mord-on la queue ?

Je conjecture que le nombre est pair et tend vers l'infini..
S
«1

Réponses

  • Tout dépend de la définition que tu prends pour une translation et un vecteur.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Bonsoir ev,

    cela ne dépend-il pas aussi de la définition d'un parallélogramme ?
    S

    [Samok, révise la conjugaison des verbes du 3ème groupe en ...dre à la forme interrogative. ;-) AD]
    [c'est quoi les verbes du troisième groupe ? :-) S]
  • Sauf à aimer mettre la charrue avant les boeufs, on définit le parallélogramme avant, par la propriété des milieux des diagonales.

    Tu as mieux ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • et un point devient un parallélogramme !

    Qui charrie mon chéri (pendant ce temps que les japonais travaillent) ?

    S
  • Samok a écrit:
    et un point devient un parallélogramme

    Non, pas un point, mais quatre points confondus, oui.
    Il faut bien que vecteur nul vive, non ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • comment sais-tu qu'il y en quatre, vu qu'ils sont confondus ?


    S
  • Ils sont garantis par la définition d'un quadrilatère, c'est-à-dire une liste de quatre points.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • E.V

    vu que je t'aime, je t'épargne la définition de quatre et de point.

    Mais bon, sache que rien n'est garanti.

    S
  • Ma tronçonneuse l'est.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Que vient faire une tronçonneuse ici ? La charte ne les interdid-elle pas ?
    S

    [Le verbe interdidre ne me paraît pas exister. :-D AD]
  • À ma connaissance, la charte ne prohibe ni les scies à chaînes, ni les co-scies à co-chaînes.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Se mordre la queue requiert une certaine souplesse.
  • Bonsoir,

    je définis la translation, en donnant le point de départ $A$ et le point d'arrivée $B$.
    Puis pour obtenir l'image d'un point $C$, on considère le milieu de $[BC]$, puis le symétrique de $A$ par rapport à ce milieu.
    Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ n'est alors qu'un codage de : point de départ $A$ et point d'arrivée $B$.

    Des objections ?

    S
  • Bon considérons, dans un autre monde :

    - $(A,B)$ comme le représentant d'une classe d’équipollence;
    - l'équipollence dérivant d'une relation d'équivalence, où $(A,B)$ et $(C,D)$ sont en relation d'équivalence si et seulement si $[AD]$ et $[CB]$ ont même milieu.

    Comment définit-on les translations dans ce monde ?
    [Le verbe définidire n'existe pas sieur AD ?]
    S

    [Samok ::o AD]
  • Bonsoir samok,

    Si $A$ et $B$ sont deux points d'un espace affine $E$, la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est l'application de $E$ dans $E$ dont le graphe est la classe d'équivalence du bipoint $(A, B)$ pour la relation d'équipollence. Voir ce message de Foys et les suivants pour tous les détails.
  • Bonsoir et merci Brian pour ce renvoi,

    (merci aussi au travail de formalisation de sieur Foys).

    Je me suis demandé ce qu'avait la définition à base de parallélogrammes à celle d'élèves qui viennent du collège, puisque les translations (sans parler de vecteurs) sont reviendues (je t'aime AD :) ).
    Pour ceux qui (=les ex collégiens) s'en souviennent, il s'agit de prendre son équerre et sa règle et de faire une parallèle, puis aller dans le même sens et de reporter une même longueur.

    Questions : l'une est-elle plus rigoureuse que l'autre ? Pourquoi ?

    S
  • Pour translationner le point $C$ par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ tu traces le segment $[BC]$, tu constructionnes le milieu $I$ de $[BC]$ en deux coups de compas et un coup de règle, tu trasses la droite $(AI)$ et tu reportages le symétrique de $A$ par rapport à $I$.

    Enfin tu peux utilisancer l'équerre pour sa seule fonction reconnue : se gratifier somptueusement le dos.

    e.v.

    Un peu de lecture. La conjugation des verbes y est discutatoire.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • On peut peut-être ajouter que la translation correspondant intuitivement à "un glissement sans tourner", il est assez naturel d'utiliser des parallèles, d'où cette histoire de parallélogramme, puis que c'est quand même bien pratique de le construire avec le milieu des diagonales comme le dit ev.

  • Tout ceci est sens-ascensionnel pour comprendre l'art maudit des mots et leurs harmonies.

    Merci ev et sato.

    S
  • Bon, on se frotte les coudes avec les manches,

    définissons l'addition de deux vecteurs, maintenant.

    Foys ? avec ton formalisme tu continues comment ?


    S
  • @ Samok

    L'addition des vecteurs c'est la composée des translations.

    Ou si tu préfères

    L'addition des translations c'est la composée des vecteurs

    e.v..
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Il faut quand même montrer quelque part le lemme que si $ABCD$ et $A'B'C'D'$ sont des parallélogrammes tels que $ABB'A'$ et $ACC'A'$ sont des parallélogrammes, alors $ADD'A'$ est un parallélogramme, non ?
  • @ JLT

    Il faut effectivement démontrer que la composée de deux translations est une translation, ce qui est souvent oublié dans les cours de seconde et demande de faire un peu de géométrie.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • La composée d'une voire deux translation(s) dans l'espace d'un silence est une translation de vecteur nul de la méridienne ?


    La poésie mord et/mais n'est pas mort sûre.

    S
  • Bon, ben moi je ne sais pas démontrer que la composée de deux translation est une translation.

    Je suis parti de ça et je n'ai pas embouti :

    - Une translation est la composée de deux symétries axiales.
    - La composition des fonctions est associative.
    - La composée de deux symétries axiales est une rotation (où le rayon est éventuellement infini).

    Peut-être est-ce un résultat Euclidien et que selon les théorèmes d'incomplétudes issues des mesures de Gödel-Lebesgue, je ne peux pas le démonstrationner ?

    S
  • Ne faut-il pas tout simplement considérer les parallélogrammes successifs ?
    ABB’A’
    Puis A’B’B’’A’’
    Pour enfin conclure que ABB’’A’’ est un parallélogramme.
  • parce qu'ils ont des côtés opposés de même langueur ?

    S
  • Et parallèles...
    Or si deux droites sont parallèles à une même troisième...
  • Oui mais cela pourrait-être un quadrilatère croisé de playtex.

    S
  • @samok,

    1) Toute isométrie est produit de deux ou trois symétries (axiales).
    2) Tout produit d'un nombre pair de symétries n'est jamais égal à un produit d'un nombre impair de symétries
    3) Une isométrie qui laisse fixe une droite point par point est la symétrie d'axe cette droite ou l'identité.

    4) Une translation est un produit de deux symétries d'axes parallèles.
    5) Une symétrie centrale ou demi-tour de centre O est le produit de deux droites perpendiculaires et concourantes en O. Elle transforme un point P en un point Q tel que O est le milieu de PQ. Le choix des deux droites perpendiculaires est donc arbitraire.

    6) Le produit p d'un nombre pair de symétries d'axes parallèles qui laisse un point P fixe est l'identité.

    (La droite d passant par P et parallèle aux axes se transforme en une parallèle à d par la première symétrie, laquelle se transforme également par une parallèle à d par la deuxième symétrie, etc. Limage de d par p est donc une parallèle à d passant par P, c'est-à-dire la droite d elle-même. L'image par p d'un point Q de d qui appartient donc à la fois à d et à la perpendiculaire k aux axes et passsnt par Q, appartient à la fois aux images d et k. Autremrnt dit, p fixe tous les points de d. C'est donc l'identité d'après 3) et 2) )

    7) Etant donnés deux points P et Q quelconques, il existe une unique translation qui applique P sur Q.

    Si P et Q sont confondus, c'est l'identité, et c'est la seule translation d'après 6).
    Supposons P et Q distincts. Soit a la perpendiculaire à PQ en P et b la médiatrice de PQ. La translation t = Sb o Sa convient. Supposons une seconde translation u = Sd o Sc qui applique P sur Q. Alors u-1 o t laisse P fixe et c'est l'identité d'après 6). Ainsi u = t.


    8) Les translations coïncident avec les produits de demi-tours.

    Soit t une translation qui applique un point P sur un point Q distinct. Soient a et b les perpendiculaires à la droite d = PQ respectivement en P et en M, milieu de PQ. CM o CP = (Sb o Sd ) o (Sd o Sa) = Sb o Sa = t.
    On montre de même qu'un produit de deux demi-tours quelconques est une translation.



    9) Le produit de deux translations est une translation.

    Soient t et u deux translations qui appliquent respectivement P sur Q et Q sur R. Soit M le milieu de PQ et N le milieu de QR. On a u o t = (CN o CQ) o (CQ o CM) = CN o CM. C'est la translation qui applique P sur R.

    Ouf !
  • Bonjour ,
    Oui mais cela pourrait-être un quadrilatère croisé

    Comment un parallélogramme peut-il être un quadrilatère croisé ?

    Cordialement
  • Fm31,

    Samok parle d'un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et de même longueur. Pas d'un parallélogramme (puisque c'est ce qu'il faut prouver).
    La preuve sans les vecteurs n'est pas évidente (la notion de "de même sens" est délicate à utiliser).

    Cordialement.
  • @samok,

    10) Les translations forment un groupe, l'inverse de la translation Sb o Sa étant naturellement Sa o Sb.

    11) C'est un groupe abélien.

    Je note TAB la translation qui amène A en B et CAB le demi-tour dont le centre est le milieu de AB et qui amène A en B.
    Soient P, Q, R trois points quelconques. Soit S tel que PS et QR aient même milieu. On a donc CPS = CQR
    TPQ = CRQ o CPR = CPS o CRP = TRS
    TPR = CQR o CPQ = CPS o CQP = TQS

    TPR o TPQ = TQS o TPQ = TPS
    TPQ o TPR = TRS o TPR = TPS

    (règle du parallélogramme)


    12) Pour montrer maintenant que c'est un R-espace vectoriel, c'est plus délicat. Il faut faire intervenir les homothéties et la conjugaison dans le groupe des similitudes.
  • Merci sieur $G^2$ pour cet exposé.

    S
  • Pas d'un parallélogramme (puisque c'est ce qu'il faut prouver).
    Un quadrilatère qui a ses côtés parallèles deux à deux n'est-il pas un parallélogramme ?
  • Bonjour fm_31,

    avec les notations de Laurette, pourquoi,-comment on a $(BB'')//(AA'')$ et $BB''=AA''$?

    S
  • En utilisant les vecteurs :82018
  • je suppose que ma bouche est bouclée.

    S
  • Fm31,

    soit ABCD un parallélogramme. ABDC est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et de même longueur.
    Il n'a jamais été question de " côtés parallèles deux à deux", sinon Samok n'aurait pas eu besoin de préciser. Reviens au message de Laurette.

    Cordialement.
  • Tout à fait, Samok !!

    Pour une vraie preuve, il faut reprendre les propositions de GG, ou, en géométrie synthétique, faire un peu plus que de constater sur la figure :-)

    Cordialement.
  • Apparemment , je n'ai rien compris à la question posée . D'ailleurs , quelle est la question posée ?
  • La question est : quelle est la bonne définition d'un parallélogramme ?

    En corollaire, quelle est la définition d'une bonne définition.

    S
  • Définir un parallélogramme, c'est facile : on dit que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.

    Ce qui est pénible, c'est de définir un quadrilatère. Voici quelques options : un ensemble de quatre points, une liste ordonnée de quatre points, une liste ordonnée à quelques permutations près (pour identifier $ABCD$, $BCDA$, etc. et aussi $DCBA$, $CBAD$ etc.), la réunion des quatre côtés, un ensemble de quatre segments, l'enveloppe convexe d'un ensemble de quatre points, etc.
  • On m'avait appris qu'un parallélogramme était un quadrilatère qui avait ses côtés opposés parallèles (d'où son nom).
    Le fait que ses diagonales se coupent en leur milieu était une caractéristique ou une propriété.
    Cette définition ne serait plus valable ? Ou prête-t-elle à confusion ?
  • On m'avait appris qu'un quadrilatère était un polygone ayant 4 côtés .
    Cette définition ne serait plus valable ? Ou prête-t-elle à confusion ?
  • Reste à définir la notion de côté.

    On peut se contenter de définir un polygone comme une suite de points (sommets), à permutation circulaire près (éventuellement à inversion de l'ordre près) : ABCDE est un quadrilatère polygone (merci MC), BCDEA est le même (et CBAED aussi). Et on appelle côté le segment formé par deux sommets successifs. Dans ce cadre, un quadrilatère est bien un polygone à 4 côtés (ou à 4 sommets).

    Cordialement.
  • @fm_31 : J'espère qu'il ne faut pas te convaincre qu'une définition n'est pas une loi écrite sur une table de la loi envoyée par une puissance supérieure mais plutôt une convention qui n'a qu'une validité locale dans le temps et dans l'espace. Par exemple, depuis quelques décennies, on trouve plus commode de construire la géométrie affine à base d'algèbre linéaire plutôt qu'à partir des axiomes d'Euclide, fussent-ils complétés par Hilbert. Les notions francophone et anglophone de compacité ne sont pas équivalentes (suivant Bourbaki, on exige que l'espace soit séparé, en anglais ce n'est pas nécessaire).

    Dès que l'on s'est aperçu qu'il y a des parallélogrammes aplatis, on se convainc que ce n'est pas une bonne idée de les définir par les côtés opposés, sans quoi quatre points alignés définissent toujours un parallélogramme. La version avec le milieu des segments reste géométrique et elle est équivalente à l'égalité vectorielle à laquelle tu penses. Elle est visiblement plus efficace que la définition par les côtés opposés que je propose d'abandonner au plus vite (c'est-à-dire : dès que l'on a à sa disposition le théorème de la droite des milieux).

    D'autre part, déplacer le débat de « quadrilatère » à « polygone » ne fait que... déplacer le débat. J'ai proposé six versions de la définition, est-ce que celle qui-ne-prête-pas-à-confusion figure au moins parmi celles-là ?

    Après, Gérard a raison : un côté, est-ce que c'est un ensemble de deux sommets ? une liste ordonnée de deux sommets à permutation circulaire et à renversement près (OK : ça revient au même) ? l'enveloppe convexe d'une paire de sommets ? une somme formelle de points ? autre chose ? (En revanche, je soupçonne qu'il ne dit pas ce qu'il pense dans la suite, ses quadrilatères sont un peu des moutons à cinq pattes...)
  • Tu as raison, Math Coss, je ne vais pas au bout de la question, mais je suis resté à la notion élémentaire qu'on peut expliquer en classe. Et donc, classiquement, un côté est un segment; point.

    Sinon, je rappelle que mon mouton à cinq pattes a suffi aux mathématiciens pendant 23 siècles :-)

    Cordialement.
  • À mon faible niveau, les définitions qu'on m'a apprises me suffisent largement. Et un parallélogramme plat ou un cercle réduit à un point ne me gènent nullement.
    Mais je conçois qu'à un autre niveau on ait besoin de définitions plus rigoureuses ou plus adaptées.
  • @df : Sur le dessin ci-dessous, les droites qui portent les côtés $[AB]$ et $[CD]$ d'une part, $[AD]$ et $[BC]$ d'autre part sont parallèles. As-tu pour autant envie d'appeler $ABCD$ un parallélogramme ?

    Ensuite, tu ne te prononces pas : qu'est-ce que tu appelles un polygone ?

    @Gérard : Même 23 siècles en arrière, un quadrilatère qui s'appelait $ABCDE$, c'était un mouton à cinq pattes...82038
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