Nombres premiers : Pi(x) et Li(x)

Laurent24

Bonjour tout le monde !
Petit problème technique au niveau du théorème des nombres premiers, et plus exactement du terme d'erreur.
Savez-vous, sachant que l'on a Psi(x)=x+O(sqrt(x)Ln(x)²), comment obtenir Pi(x)=Li(x) + O(sqrt(x)Ln(x)) ????
Merci d'avance !

Laurent

borde

Oui : il faut faire une sommation partielle...

Borde.

borde

Bonsoir,

La sommation partielle (ou sommation d'Abel) est le pendant, pour les sommes, de l'intégration par parties. A ce titre, elle est autant utilisée que l'IPP. Dans le cas qui nous occupe ici, elle prend la forme suivante : si $g \in C^{1} ([2;x])$, alors : $$\sum_{p \leqslant x} f(p) g(p) = g(x) \sum_{p \leqslant x} f(p) - \int_{2}^{x} g'(t) \left ( \sum_{p \leqslant t} f(p) \right ) dt.$$ (La démonstration la plus rapide de cette égalité utilise justement l'IPP dans le formalisme de l'intégrale de Stieltjes). Ici, on écrit $\displaystyle {\pi(x) = \sum_{p \leqslant x} \frac {\ln p}{\ln p}}$, donc, avec $\displaystyle {g(t) = \frac {1}{\ln t}}$, on obtient : $$\pi(x) = \frac {\theta(x)}{\ln x} + \int_{2}^{x} \frac {\theta(t) \, dt}{t (\ln t)^2}$$ où $\theta(t) = \sum_{p \leqslant t} \ln p$ est la première fonction de Tchébytchev. Puisque $\theta(t) \ll t$, l'intégrale est en $\displaystyle { \ll \frac {x}{(\ln x)^2}}$. On conclut en utilisant l'estimation $\psi(x) = \theta(x) + O(\sqrt x)$ valable pour tout $x \geqslant 2$.

J'espère avoir été satisfaisant.

Borde.

Laurent24

Merci beaucoup, cela me semble assez clair, je m'y pencherai ce soir !! Cela va me permettre de terminer mon mémoire de maîtrise sur le lien entre la fonction zêta de Riemann et la distribution des nombres premiers.

borde

Pour d'autres questions concernant ce vaste sujet (qui intéresse d'ailleurs beaucoup de monde sur le forum !) et/ou d'éventuelles généralisations, ne pas hésiter à demander...

Bon courage,

Borde.

Laurent24

En fait, si tu avais une formule qui permet de passer de l'estimation de $\psi(x)=x+O(\sqrt{x}log(x)²)$ à $\pi(x)$, cela m'arrangerait.... j'ai supposé l'hypothèse de Riemann vraie pour cela (afin de voir ce qui se passe dans ce cas là). Je n'ai pas encore regardé en détail ta preuve, elle mène sans doute au résultat avec l'estimation de $\psi$ que j'ai !
A très bientôt,
Merci beaucoup !

Laurent

borde

A mon avis, il est plus facile de travailler avec le TNP sous sa forme actuelle, à savoir $\psi(x) = x + O \( x \exp (-c \sqrt x)) \right )$ (avec $c > 0$) ou, mieux encore, $\psi(x) = x + O \( x / \ln x)$. Si tu reprends le calculs faits ci-dessus, on arrive à $$\pi(x) = \frac {\psi(x)}{\ln x} + O \left ( \frac {\sqrt x}{\ln x} \right ) + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^2} \right ).$$ Le premier terme d'erreur est englobé dans le premier pour $x$ assez grand, et tu obtiens donc que : $$\pi(x) = \frac {\psi(x)}{\ln x} + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^2} \right ).$$ Le TNP sous la forme ci-dessus permet alors de conclure.

Je ne sais pas sur quelles références tu travailles, mais il me semble que celle-ci vaut le détour : {\bf Harold Diamond}, {\it Elementary methods in teh study of the distribution of prime numbers}, Bull. Amer. Math. Soc. (1982), 553-589.

Ne pas oublier toutes les formes équivalentes du TNP : par exemple, il équivaut à $$\sum_{n \leqslant x} \frac {\mu(n)}{n} = 0$$ ce qui n'est pas le moindre de ses charmes.

Si tu cherches des élargissements possibles, on peut penser (au niveau maîtrise) au {\it théorème de Wintner} : soit $f(n)$ une fct arithmétique de série de Dirichlet associée $F(s)$ qui vérifie, pour $s > 1$ réel : $$F(s) = \zeta(s) G(s)$$ où $G(1)$ converge absolument. Alors : $$\lim_{n \longrightarrow \infty} \frac {1}{n} \sum_{k \leqslant n} f(n) = G(1).$$

Enfin, si tu es familier avec les méthodes utilisant les intégrales complexes (formule de Perron, en particulier), tu pourrais même peut-être te risquer à montrer que, si $f(n)$ est une fct arithmétique de série de Dirichlet associée $F(s)$ vérifiant $F(s) = \zeta^k(s) G(s)$, avec $k \in \N^{*}$ et $G(s)$ est une série de Dirichlet qui converge absolument dans le demi-plan $\Re s > 1 - \delta$ pour un certain $0

borde

A mon avis, il est plus facile de travailler avec le TNP sous sa forme actuelle, à savoir $\psi(x) = x + O \left ( x \exp (-c \sqrt x) \right )$ (avec $c > 0$) ou, mieux encore, $\psi(x) = x + O \( x / \ln x)$. Si tu reprends le calculs faits ci-dessus, on arrive à $$\pi(x) = \frac {\psi(x)}{\ln x} + O \left ( \frac {\sqrt x}{\ln x} \right ) + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^2} \right ).$$ Le premier terme d'erreur est englobé dans le second pour $x$ assez grand, et tu obtiens donc que : $$\pi(x) = \frac {\psi(x)}{\ln x} + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^2} \right ).$$ Le TNP sous la forme ci-dessus permet alors de conclure.

Je ne sais pas sur quelles références tu travailles, mais il me semble que celle-ci vaut le détour : {\bf Harold Diamond}, {\it Elementary methods in teh study of the distribution of prime numbers}, Bull. Amer. Math. Soc. (1982), 553-589.

Ne pas oublier non plus toutes les formes équivalentes du TNP : par exemple, il équivaut à $$\sum_{n \leqslant x} \frac {\mu(n)}{n} = 0$$ ce qui n'est pas le moindre de ses charmes.

Si tu cherches des élargissements possibles, on peut penser (au niveau maîtrise) au {\it théorème de Wintner} : soit $f(n)$ une fct arithmétique de série de Dirichlet associée $F(s)$ qui vérifie, pour $s > 1$ réel : $$F(s) = \zeta(s) G(s)$$ où $G(1)$ converge absolument. Alors : $$\lim_{n \longrightarrow \infty} \frac {1}{n} \sum_{k \leqslant n} f(n) = G(1).$$

Enfin, si tu es familier avec les méthodes utilisant les intégrales complexes (formule de Perron, en particulier), tu pourrais même peut-être te risquer à montrer que, si $f(n)$ est une fct arithmétique de série de Dirichlet associée $F(s)$ vérifiant $F(s) = \zeta^k(s) G(s)$, avec $k \in \N^{*}$ et $G(s)$ est une série de Dirichlet qui converge absolument dans le demi-plan $\Re s > 1 - \delta$ pour un certain $0

borde

(...)

A mon avis, il est plus facile de travailler avec le TNP sous sa forme actuelle, à savoir $\psi(x) = x + O \left ( x \exp (-c \sqrt x) \right )$ (avec $c > 0$) ou, mieux encore, $\displaystyle {\psi(x) = x + O \left ( \frac {x}{\ln x} \right )}$. Si tu reprends le calculs faits ci-dessus, on arrive à $$\pi(x) = \frac {\psi(x)}{\ln x} + O \left ( \frac {\sqrt x}{\ln x} \right ) + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^2} \right ).$$ Le premier terme d'erreur est englobé dans le second pour $x$ assez grand, et tu obtiens donc que : $$\pi(x) = \frac {\psi(x)}{\ln x} + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^2} \right ).$$ Le TNP sous la forme ci-dessus permet alors de conclure.

Je ne sais pas sur quelles références tu travailles, mais il me semble que celle-ci vaut le détour : {\bf Harold Diamond}, {\it Elementary methods in teh study of the distribution of prime numbers}, Bull. Amer. Math. Soc. (1982), 553-589.

Ne pas oublier non plus toutes les formes équivalentes du TNP : par exemple, il équivaut à $$\sum_{n \leqslant x} \frac {\mu(n)}{n} = 0$$ ce qui n'est pas le moindre de ses charmes.

Si tu cherches des élargissements possibles, on peut penser (au niveau maîtrise) au {\it théorème de Wintner} : soit $f(n)$ une fct arithmétique de série de Dirichlet associée $F(s)$ qui vérifie, pour $s > 1$ réel : $$F(s) = \zeta(s) G(s)$$ où $G(1)$ converge absolument. Alors : $$\lim_{n \longrightarrow \infty} \frac {1}{n} \sum_{k \leqslant n} f(n) = G(1).$$

Enfin, si tu es familier avec les méthodes utilisant les intégrales complexes (formule de Perron, en particulier), tu pourrais même peut-être te risquer à montrer que, si $f(n)$ est une fct arithmétique de série de Dirichlet associée $F(s)$ vérifiant $F(s) = \zeta^k(s) G(s)$, avec $k \in \N^{*}$ et $G(s)$ est une série de Dirichlet qui converge absolument dans le demi-plan $\Re s > 1 - \delta$ pour un certain $0

borde

Correction des coquilles :


A mon avis, il est plus facile de travailler avec le TNP sous sa forme actuelle, à savoir $\psi(x) = x + O \left ( x \exp (-c \sqrt {\ln x}) \right )$ (avec $c > 0$) ou, mieux encore, $\displaystyle {\psi(x) = x + O \left ( \frac {x}{\ln x} \right )}$. Si tu reprends le calculs faits ci-dessus, on arrive à $$\pi(x) = \frac {\psi(x)}{\ln x} + O \left ( \frac {\sqrt x}{\ln x} \right ) + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^2} \right ).$$ Le premier terme d'erreur est englobé dans le second pour $x$ assez grand, et tu obtiens donc que : $$\pi(x) = \frac {\psi(x)}{\ln x} + O \left ( \frac {x}{(\ln x)^2} \right ).$$ Le TNP sous la forme ci-dessus permet alors de conclure.

Je ne sais pas sur quelles références tu travailles, mais il me semble que celle-ci vaut le détour : {\bf Harold Diamond}, {\it Elementary methods in teh study of the distribution of prime numbers}, Bull. Amer. Math. Soc. (1982), 553-589.

Ne pas oublier non plus toutes les formes équivalentes du TNP : par exemple, il équivaut à $$\sum_{n \leqslant x} \frac {\mu(n)}{n} = 0$$ ce qui n'est pas le moindre de ses charmes.

Si tu cherches des élargissements possibles, on peut penser (au niveau maîtrise) au {\it théorème de Wintner} : soit $f(n)$ une fct arithmétique de série de Dirichlet associée $F(s)$ qui vérifie, pour $s > 1$ réel : $$F(s) = \zeta(s) G(s)$$ où $G(1)$ converge absolument. Alors : $$\lim_{n \longrightarrow \infty} \frac {1}{n} \sum_{k \leqslant n} f(k) = G(1).$$

Enfin, si tu es familier avec les méthodes utilisant les intégrales complexes (formule de Perron, en particulier), tu pourrais même peut-être te risquer à montrer que, si $f(n)$ est une fct arithmétique de série de Dirichlet associée $F(s)$ vérifiant $F(s) = \zeta^k(s) G(s)$, avec $k \in \N^{*}$ et $G(s)$ est une série de Dirichlet qui converge absolument dans le demi-plan $\Re s > 1 - \delta$ pour un certain $0

Laurent24

Et si jamais, imaginons, j'arrive à montrer que :

$$Li(x)+O(\sqrt{x}Ln(x)) - O(\frac{x}{Ln(x)²})\le \pi(x) \le Li(x) + O(\sqrt{x}{Ln(x)}$$, puis-je conclure que $$pi(x)=Li(x) + O(\sqrt{x}Ln(x)) ???

Merci pour tes précieuses informations et développements

Laurent

Laurent24

Et si jamais, imaginons, j'arrive à montrer que :

Li(x)+O(\sqrt{x}Ln(x)) - O(x/Ln(x)})\le \pi(x) \le Li(x) + O(\sqrt{x}{Ln(x)}, puis-je conclure que pi(x)=Li(x) + O(\sqrt{x}Ln(x)) ???

Merci pour tes précieuses informations et développements

Laurent

Alain Debreil

Et si jamais, imaginons, j'arrive à montrer que :

$$Li(x)+O\big(\sqrt{x}\ln(x)\big) - O\left(\frac{x}{\ln(x)²}\right)\leq \pi(x) \leq Li(x) + O\big(\sqrt{x}{\ln(x)}\big)$$ puis-je conclure que $$\pi(x)=Li(x) + O\big(\sqrt{x}\ln(x)\big) $$ Merci pour tes précieuses informations et développements

Laurent

Vianney

En fait, si tu avais une formule qui permet de passer de l'estimation de $\psi(x)=x+O(\sqrt{x}\log(x)²)$ à $\pi(x)$, cela m'arrangerait.... j'ai supposé l'hypothèse de Riemann vraie pour cela (afin de voir ce qui se passe dans ce cas là). Je n'ai pas encore regardé en détail ta preuve, elle mène sans doute au résultat avec l'estimation de $\psi$ que j'ai !
A très bientôt,
Merci beaucoup !

Laurent

Laurent24

Dernière question : comment montres-tu que $\psi(x)=\theta(x) + O(\sqrt{x})$ ??
J'ai réussi à trouver une démonstration qui évite l'intégrale de Stieltjes, donc ça avance plutôt très bien !

borde

Oui, tu n'en a pas besoin. Look at this : $$\psi(x) = \sum_{p^l \leqslant x} \ln p = \theta(x) + \sum_{p^l \leqslant x, \, l \geqslant 2} \ln p$$ soit $$\psi(x) = \theta(x) + \sum_{p \leqslant \sqrt x} \ln p \sum_{2 \leqslant l \leqslant \ln x / \ln p} 1$$ d'où $$\psi(x) \leqslant \theta(x) + \sum_{p \leqslant \sqrt x} \ln p \left [ \frac {\ln x}{\ln p} \right ] \leqslant \theta(x) + \pi(\sqrt x) \ln x$$ et on utilise les estimations de Tchébytchev $\displaystyle {\pi(x) \asymp \frac {x}{\ln x}}$.

Good luck,

Borde.

Laurent24

Merci bien ! J'ai trouvé un papier de B.E.Petersen qui me donne la solution de mon problème, avec la même méthode que tu me proposais, donc tout va pour le mieux ! )
Merci encore pour ta disponibilité et tes réponses fort intéressantes !

Laurent

borde

De rien, Laurent, et n'hésite à demander pas si tu veux des compléments...

Borde.