Application versus fonction

Salut. J'ai remarqué que certains auteurs faisaient clairement la distinction entre application et fonction et d'autres non. Qu'en doit-il être réellement ? Amicalement.

Réponses

  • On en a déjà parlé et c’est surtout du pinaillage.
    Pour une fonction, tout élément de l’ensemble de départ a au plus une image, pour une application exactement une.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • @nicolas.patrois en adoptant les définitions que vous donnez, est-il correct de parler de fonction bijective ou doit-on seulement dire application bijective? Merci d'avance.
  • Une application est une fonction donc comme tu veux.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Bonjour Amateur2.

    En n'utilisant que des applications (fonction dont le domaine de définition est l'ensemble de départ) et des ensembles de départ et d'arrivée bien précisés, on évite les problèmes de vocabulaire. Ensuite, utiliser le mot fonction à leur propos ne pose plus de problème.
    La fonction exponentielle est une application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
    Pas de souci avec la phrase précédente :-)

    Cordialement.
  • @gerard0 je conçois bien vos propos. Excusez mon insistance mais je tiens vraiment à comprendre donc je precise ce que je sais un peu(à rectifier au besoin):
    1.toute application est une fonction
    2. il existe des fonctions qui ne sont pas des applications
    3. une fonction f qui n'est pas une application ne peut pas être bijective car les éléments de son ensemble de depart qui n'ont pas d'images par f ne peuvent pas avoir d'antecedents par ""sa reciproque"""
    Amicalement
  • C'est plus compliqué.

    Pour les auteurs français des années 1970-2000, la distinction se fait entre fonction et applications, et c'est ce que je disais. Et si une fonction peut être injective, voire surjective, on ne parlait de bijection que pour les applications (sinon on a un problème avec l'ensemble de départ et pas de réciproque).
    Pour la plupart des auteurs actuels, les deux mots sont des synonymes, et recouvrent plutôt la notion d'application (et on ne parle plus d'ensemble de définition).

    Donc il faut savoir de quoi parle un auteur qui dit "fonction".

    Comme le vocabulaire n'est pas fixé, tes formulations 2 et 3 ne sont pas correctes.

    Tu peux rechercher sur le forum des discussions précédentes sur le sujet (recherche avancée avec "fonction application").

    Cordialement.
  • Bonjour gerard0.
    Effectivement je travaille surtout avec des livres des années 80-90. Il me faut une mise à jour alors:-). Je dormirai moins bête ce soir.
    Merci.
  • Bonjour,

    Voici un ancien fil de discussion sur le sujet, il devrait t'aider un peu.
  • Merci brian! Ton lien est une mine d'or pour moi.
  • Bonjour,

    Je me permets de réagir sur cette supposée différence entre la notion de fonction et d'application. J'ai lu l'intégralité de l'ancien fil de discussion consacré à ce sujet. Je suis assez surpris des réponses qui y sont apportées, notamment par celles qui établissent une distinction entre ces deux notions, en faisant appel à des définitions prétendument "officielles". Je rappellerai ici celles données par deux auteurs distincts: Nicolas Bourbaki et Krivine dans leur traité axiomatique de théorie des ensembles respectif. Ce sont bien des écrits antérieurs aux années 1970, français, ré-édités maintes fois depuis, et pour lesquels, il n'y a aucune distinction entre ces deux notions.

    Je rappelle qu'un graphe $F$ est une partie d'un produit cartésien entre deux ensembles, c'est-à-dire un ensemble de couples. Qu'à tout graphe $F$ peut être associé deux ensembles : l'un appelé son domaine $\mathcal D_F=\{x\mid \exists y,\ (x,y)\in F\}$ ou encore ensemble de définition, ou encore première projection coordonnée ; l'autre appelé son image ou ensemble des valeurs ou encore seconde projection coordonnée $\mathcal I_F=\{y\mid \exists x,\ (x,y)\in F\} $. On a $F\subset \mathcal D_F\times I_F$.

    Je vais maintenant préciser la notion de correspondance entre deux ensembles un dit de départ $A$ et l'autre dit d'arrivée $B$. Une correspondance entre ces deux ensembles est un triplet $f=(F,A,B)$ tel que $\mathcal D_F\subset A$ et $\mathcal I_F\subset B$. La relation $(x,y)\in F$ se lit $y$ correspond à $x$ par la correspondance $f$. Le domaine de définition de cette relation c'est-à-dire la collection des objets $x$ vérifiant $\exists y,\ (x,y)\in F$ de cette relation est par définition $\mathcal D_F$ le domaine du graphe $F$. La correspondance est dite définie en tout objet $x$ de l'ensemble de définition $\mathcal D_F$. Tout élément $x$ de la partie complémentaire de $\mathcal D_F$ dans l'ensemble de départ $A$ n'a aucun élément $y$ lui correspondant. La correspondance et dite non définie pour un tel objet ($x$).

    Une valeurs admise par la correspondance est un objet $y$ élément de $\mathcal I_F$, aussi cet ensemble est-il encore appelé l'image ou l'ensemble des valeurs de la correspondance. Une correspondance généralise la notion de fonction, ou réciproquement la notion de fonction est une spécialisation de la notion de correspondance entre deux ensembles.

    Cette spécialisation est réalisée en deux étapes à l'aide de deux axiomes supplémentaires le premier portant sur l'unicité de l'élément correspondant et le second sur le domaine d'existence d'un tel élément.

    Première spécialisation

    On appelle graphe fonctionnel un graphe $F$ tel que $\forall x\forall y\forall y',\ (x,y)\in F \wedge (x,y')\in F \Rightarrow y=y'$ autrement dit un graphe dont la relation d'appartenance est univoque en sa coordonnée seconde. Un tel graphe associe à tout élément $x\in \mathcal D_F$ de son domaine une valeur $y$ et une seule. Autrement dit pour tout $x\in \mathcal D_F$, le graphe $F$ ne comporte qu'un seul couple de première coordonnée $x$. Pour $x\in \mathcal D_F$, la relation $(x,y)\in F$ est fonctionnelle (c'est-à-dire à la fois définie [existence de l'élément correspondant], i.e., $\exists y,\ (x,y)\in F$ et univoque [unicité de l'élément correspondant] au sens donné plus haut). On abrége cette relation sous la forme $y=F(x)$ ou $y=F_x$ c'est-à-dire à l'aide d'un symbole fonctionnel convenablement choisi.

    On appelle correspondance fonctionnelle une correspondance $f=(F,A,B)$ dont le graphe est fonctionnel. C'est une fonction non partout définie sur $A$ mais seulement sur son domaine de définition $\mathcal D_F$. La relation $(x,y)\in F$ s'abrège sous la forme fonctionnelle $y=F(x)$ ou $y=F_x$ mais encore sous les forme $y=f(x)$ ou $y=f_x$.

    Certains intervenants du fil de discussion font appel à des définitions prétendument officielles et affirment que la notion de fonction se confond avec celle de correspondance fonctionnelle entre deux ensembles. D'autres intervenants font appel à Bourbaki pour justifier la distinction entre fonction et application en n'ayant visiblement pas compris le sens complet de la définition proposée par leurs auteurs. J'insiste sur le fait que selon le point de vue adopté par Bourbaki (E, II, p.13), ou par Krivine p.21 une correspondance fonctionnelle n'est pas une fonction, et que fonction ou application désignent rigoureusement la même notion. Au sens de ces auteurs une correspondance fonctionnelle ne devient une fonction (ou une application qui est la même chose) qu'avec la

    Deuxième spécialisation.

    On appelle fonction ou application de $A$ dans $B$ une correspondance fonctionnelle $f=(F,A,B)$ telle que $\mathcal D_F=A$ c'est-à-dire dont l'ensemble de départ se confond avec son domaine de définition, c'est-à-dire une correspondance partout définie sur $A$. On emploie alors la notation $f:A\rightarrow B$ pour désigner une fonction/application.

    Au sens de Bourbaki $f(x)=\frac1x$ n'est pas fonction/application de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ n'étant pas définie en $x=0$. L'ensemble de définition étant $\mathcal D_F=\mathbb R^*$. En revanche c'est une fonction/application de $\mathbb R^*$ dans $\mathbb R$.


    Maintenant que l'on connaît le sens restrictif du mot fonction ou de son synonyme application, on considérera sans difficulté leurs généralisations suivantes : une correspondance peut être vue comme une fonction non partout définie sur son ensemble de départ et possiblement mutli-valuée en chaque objet de son ensemble de définition. Une correspondance fonctionnelle peut être vue comme une fonction non partout définie sur son ensemble de départ et mono-valuée en tout point de son ensemble de définition. Une fonction est une fonction (i.e. définie sur son ensemble de départ et mono-valuée en chaque point de cet ensemble).
  • Que de mots pour des dénominations qui ont évolué dans le temps ! Et pourquoi revenir un an après !!
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