Fonctions holomorphes : indice

Bonjour/Bonsoir,

J'ai eu beau chercher un peu partout, j'aurais aimé savoir d'où provient la formule de l'indice d'un point par rapport à un lacet :
$\displaystyle {\rm Ind}_\gamma (\omega ) = \frac{1}{i 2\pi} \int_\gamma \frac{1}{z-\omega}\ {\rm d}z$.

Dans la plupart des choses que j'ai vues, y compris dans mon cours :

1. soit on donne cette formule comme une définition et on nous spoil après en nous disant que ça nous donne le nombre de tours algébriques qu'effectue $\gamma $ autour de $\omega$. Mais je n'ai absolument pas compris d'où ça vient...
2. soit on dit que c'est lié à une primitive du logarithme et qu'en fait l'indice est une variations de la fonction argument. Là encore, je ne comprends pas le fil conducteur.

D'ailleurs est-ce qu'on crée une fonction qui, par hasard, donne un nombre de tours algébriques que parcourt un lacet autour d'un point, ou c'est parce qu'on veut trouver un nombre de tours algébriques que parcourt un lacet autour d'un point qu'on établit la formule de l'indice ? Selon moi, ce serait plutôt la deuxième. En résumé, je ne comprends pas d'où l'on part, ni ce qu'on cherche à faire pour établir/motiver la définition de l'indice.

Cordialement,

Réponses

  • Disons que l'on cherche une fonction magique $L$ qui compte le nombre de tours autour du cercle unité, de sorte que $L(1)=0$ et $L(\mathrm{e}^{2i \pi})=1$ :-D C'est bien sûr impossible puisque $\mathrm{e}^{2i \pi}=1$... Mais moralement, on veut qu'une telle fonction soit telle que $L(\gamma(1)) - L(\gamma(0))$ soit égal au nombre de tours que fait la paramétrisation $\gamma$ du cercle unité. Cette dernière différence vaudrait $$\int_{\gamma} f(z) \,dz,$$ où $f$ est la "dérivée" de $L$ si $L$ était effectivement holomorphe au voisinage du disque unité.

    Moralement, c'est "le" logarithme (divisé par $2i\pi$) qui remplit le rôle de $L$ : si je prend la branche du logarithme défini sur $\mathbb C \setminus \mathbb R^+$, j'ai $$\lim_{z \to 1, \mathfrak{Im}(z) > 0} L(z) =0$$ tandis que $$\lim_{z \to 1, \mathfrak{Im}(z) < 0} L(z) =2i\pi.$$

    Il se trouve alors que $$\frac{1}{2i \pi} \int_{\gamma} \frac{dz}{z}$$ compte effectivement le nombre de tours que fait $\gamma$ dans le cercle unité. Le passage à n'importe quelle autre courbe fermée est indolore en homotopant celles-ci sur des cercles centrés en n'importe quel point $w \in \mathbb C$.
  • Merci d'avoir pris le temps de me répondre, c'est déjà un peu plus clair.
  • Si tu écris ton lacet dans $\C^* = \R^2 \setminus \{(0,0) \}$ en polaire $t \in [0,1] \mapsto (r(t)\cos \theta(t),r(t)\sin \theta(t))$ alors le nombre de tours va être donné par
    $$ \frac{\theta(1)-\theta(0)}{2 \pi}$$
    (la position finale est la même que la position initiale donc $\theta(1)$ et $\theta(0)$ ne diffère que d'un multiple entier de $2\pi$).

    Si maintenant on écrit $z = re^{i \theta}$ alors en différenciant comme un physicien on a $dz=e^{i \theta}dr+ire^{i \theta}d\theta$ d'où
    $$ \frac{dz}{z} = \frac{dr}{r}+id\theta$$
    En intégrant ça pour $ 0 \leq t \leq 1$ et en se servant du fait que $r(0) = r(1)$ on obtient la formule de l'indice.
  • Autre approche. On trace une courbe quelconque, fermée ou pas, $\gamma:[a,b]\to\C^*$, $t\mapsto\gamma(t)$ dans le plan complexe privé de l'origine. On note $(x(t),y(t))$ les coordonnées cartésiennes, c'est-à-dire la partie réelle et la partie imaginaire de $\gamma(t)$, pour $t\in[a,b]$.

    Localement, on connaît des formules qui donnent une valeur $\theta(t)$ de l'argument de $\gamma(t)$. Par exemple, sur un intervalle où $\gamma(t)$ n'est jamais un réel négatif, on peut prendre $\theta=2\arctan\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}$. En recollant petit à petit, on peut trouver une détermination (dérivable) $\theta$ de l'argument.

    Ce que l'on veut, c'est $\theta(b)-\theta(a)$ : c'est la variation de l'argument quand on le suit continûment de $a$ à $b$.

    D'autre part, la fonction $r=\sqrt{x^2+y^2}$ est définie partout et elle ne s'annule jamais. Elle est même comprise entre deux constantes strictement positives puisque $[a,b]$ est compact.

    Ainsi, on a classiquement : $\gamma(t)=r(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(t)}$ pour tout $t\in[a,b]$. calculons $\frac{1}{z}\times\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$ : \[\frac{\mathrm{d}z}{z}=\frac{r'(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(t)}+r(t)\,\mathrm{i}\theta'(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(t)}}{r(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(t)}}=\frac{r'(t)}{r(t)}+\mathrm{i}\theta'(t).\]Quand on intègre, cela donne : \[\int_\gamma\frac{\mathrm{d}z}{z}=
    \int_a^b\frac{1}{z}\times\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=
    \ln\left|\frac{\gamma(b)}{\gamma(a)}\right|+\mathrm{i}\bigl(\theta(b)-\theta(a)\bigr).\] La variation d'argument de $\gamma(a)$ à $\gamma(b)$ est donc la partie imaginaire de $\int_\gamma\frac{\mathrm{d}z}{z}$.

    Si la courbe est fermée, $\gamma(b)=\gamma(a)$ donc la partie réelle est nulle et $\theta(b)-\theta(a)$ est un multiple de $2\pi$. On voit bien que ce multiple – le nombre de tours – est $\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\gamma\frac{\mathrm{d}z}{z}$.
  • Je ne vois pas en quoi c'est une autre approche, c'est la même chose que ce que j'ai fait, présenté différemment.
  • Évidemment ! C'est une autre approche que celle de Poirot. Tu as posté pendant que je tapais.
  • Au temps pour moi ;)
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