Matrices symétriques réelles

Salut, je n'ai pas pu démontrer la proposition suivante :
Toute matrice carrée symétrique réelle d'ordre n est diagonalisable.

Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour,

    On trouve cela dans tous les ouvrages.
    On a même un résultat plus fort : le théorème spectral.

    Une démonstration commence par un résultat d'analyse (image d'un compact par une fonction continue).
  • Bonjour,

    Une matrice carrée symétrique possède des valeurs propres réelles. Deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux. A partir des vecteurs propres associés à une même valeur propre on forme une base orthogonale par Gram-Schmidt (puisqu’ils forment une famille libre finie du sous-espace propre). On a donc formé une matrice de passage dont tous les vecteurs sont orthogonaux. Et on conclut que la matrice carrée symétrique est diagonalisable.
  • YvesM, rien dans ton argument ne dit que la somme des sous-espaces propres est l'espace tout entier. Et la première phrase demande démonstration.
  • Bonjour,

    C’est vrai : voici une tentative : tout espace propre et son supplémentaire orthogonal sont stables par (l’endomorphisme) la matrice réelle symétrique. La somme des sous-espaces propres est donc l’espace tout entier.
  • La stabilité du supplémentaire (pas complémentaire) orthogonal est un ingrédient classique des preuves du théorème spectral par récurrence sur la dimension.
  • Bonjour !
    Même question sur un autre forum !
    A la demande connais-tu les espaces euclidiens ? la réponse était non !

    Ce n'est pas le même demandeur mais peut-être ferait-il la même réponse !
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