Ensemble Infini de rationnels

Salut
Est-ce que quelqu'un peut me donner une indication sur comment je peux trouve la borne sup de cette partie $I=[0,\pi] \cap \mathbb{Q}$

Réponses

  • Pour $n$ entier naturel, que peux-tu dire de $x_n=10^{-n}\lfloor10^n\pi\rfloor$ ?
  • Merci beaucoup.On a $\pi$ est un majorant de $I$ et cette suite $(x_n)$ est à valeurs dans $I$ de plus elle tend vers $\pi$ donc on utilise la caractérisation séquentielle de la borne $\sup$ on obtient que $\sup(I)=\pi.$
  • C'est tout. (Belle réactivité je dois dire !)

    Edit : Non, ce n'est pas tout. J'ai pris la suite des approximations décimales par défaut pour donner une suite explicite mais la propriété qui compte vraiment ici, c'est la densité de $\Q$ dans $\R$, qui assure l'existence d'un élément $y_n$ de $I$ dans tout intervalle $[\pi-10^{-n},\pi]$ : la suite $(y_n)$ permet de conclure aussi bien que la suite $(x_n)$.
  • Merci l'idée de l'expression de la suite est la plus dur sinon le reste est facile !
  • La borne supérieure dans Q ? R ?

    Existence ?
  • Donc si je comprends pas bien puisque $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ alors dans tous intervalle de la forme $[\pi,\pi-10^{-n}]$ il existe un rationnel notons le $y_{n}$
    la suite $(y_{n})$ est une suite valeurs dans $I$ de plus elle converge vers $\pi$ d'où le résultat
  • C'est ça. La suite explicite est un gadget. (Bon : un gadget utile parce qu'après tout, dans certains domaines de la vraie vie, les approximations décimales, c'est à peu près tout ce à quoi on a droit.)
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