Utilite de la localisation des racines d'un polynome

Bonsoir,


je travaille actuellement sur la méthode de Wronski qui permet, pour tout polynôme donné, d'obtenir le polynôme dont toutes les racines sont à l'intérieur du disque unité (et éventuellement sur le cercle unité) :
par exemple si
$$P(z)=(z-2+i).(z-1/2).(z-1/4-i/4)$$ alors la méthode de Wronski permet d'obtenir $$P_{\text{extrait}}(z)=(z-1/2).(z-1/4-i/4)=z^2 + (-0.75 + 0.25.i) z + (0.125 - 0.125.i)$$ On obtient le polynôme sous forme développée et non factorisée....on a donc juste un polynome dont toutes les racines sont à l'intérieur du disque unité. A l'aide d'une division euclidienne, on a celles à l'extérieur du disque, et, enfin, avec des transformations affines on peut obtenir le polynome dont les racines sont situées dans un certain domaine du champ complexe.

La question que je me pose est quelle est l'utilité d'une telle méthode ? Connaissez vous des théorèmes qui pourraient utiliser uniquement les coefficients d'un tel polynome (parce que si on doit calculer les racines du polynome pour en déduire des propriétés, cette "\emph{factorisation universelle} --- dixit Wronski --- est inutile.

On m'a parlé d'applications en automatique mais n'ayant que très peu de notions là dessus....

Merci d'avance !

Hoeg

Réponses

  • je me permets de faire remonter mon post au cas où...toute idée d'utilisation de la méthode de Wronski est la bienvenue !
  • Zut alors!

    J'étais persuadé d'avoir répondu.

    Il faut dire que le temps où je faisait ce genre de choses est bien lointain.

    Corrigez-moi si je me goure, mais la stabilité d'un système dépend de la position des pôles de sa fonction de transfert, et on peut décomposer la fonction de transfert en partie stable et partie instable.

    L'intérêt ?
    Plus un système est stable plus il résiste aux perturbations. Par exemple, lorsqu'on veut tourner, il ne tourne pas, quand on freine il ne ralentit pas.

    Plus un système est instable, et plus il amplifie les perturbations. Par exemple quand on veut aller tout droit, il ne va pas tout droit, quand on veut garder une vitesse constante il accélère.

    Et là, je peux me tromper, mais il me semble que c'est par rapport à la présence de pôles dans le cercle unité que l'on travaille. Mon dieu, que de souvenirs... Et combien j'en ai oublié...

    Amicalement
    Volny
  • <!--latex-->« cette "factorisation universelle - dixit Wronski »
    <BR>
    <BR>Wronski était particulièrment allumé (il prétendait vouloir réformer le catholicisme pour en faire une religion démontrée), donc ses paroles sont à prendre avec un minimum de recul.<BR>
  • merci Volny pour votre (ta ?) réponse !

    J'ai deja entendu parler de stabilité mais ça remonte a un semestre deja ;-)...le "truc" c'est que la méthode que j'étudie ne trouve pas elle même le nombre de zéros dans le disque....pour cela j'utilise l'algorithme de Schur-Cohn.

    "Ma" méthode ne me donne ni ce nombre de poles dans le disque, ni ces fameux poles mais juste un polynome dont les racines seront les poles....et c'est bien cela qui me laisse perplexe quant a l'utilite de la methode !! (d'autant que le sieur Wronski etait....particulier dirons nous !). Mais mon prof m'a assuré de l'utilite de la chose pour les physiciens ou en automatisme, sans vouloir m'en dire plus...
  • <!--latex-->oui Eric, je conviens que le personnage etait farfelu, mais il a fait des choses pas toutes idiotes avec les déterminants (d'ailleurs certains portent son nom alors....). Et en fait, il y a eu des études de faites sur sa méthode (j'ai un "vieux" papier de Lascoux la dessus et un preprint de mon prof justement) et elle semble bien fonctionner (moi je verifie surtout numériquement....). Donc pas trop d'a priori, meme si le terme de <I>factorisation universelle</I> est vraiment too much je trouve !<BR><BR><BR>
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