Sommation à $10^{-3}$ près

Quelle est la valeur de $\quad\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{(3n+2)^{2}},\quad$ à $10^{-3}$ ?

Réponses

  • On peut appliquer le Critère Spécial des Séries Alternées.

    Est-ce un exercice issu d'un devoir ou bien ?

    Un calcul grossier en appliquant le critère de majoration me dit qu'il suffit de choisir $n=10$ pour avoir l'approximation souhaitée.
    On peut faire plus fin mais je n'ai pas voulu me casser la tête.
  • Je sais que la série converge mais j'ai pas trouvé comment calculer la valeur de la série
  • Il ne serait pas bien vu que l'on te donne des réponses toutes faites : la charte du forum est claire à ce sujet.

    Quelle aide veux-tu exactement ?

    Aussi, veux-tu savoir la limite de cette série ("valeur exacte" sous forme close) ou bien une valeur approchée comme le dit le premier message ?
  • On ne calcule pas la valeur de la série : il y a un résultat du cours qui dit que $$
    \Big\vert \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(3n+2)^{2}}- \sum_{n=0}^{m-1}\frac{(-1)^{n}}{(3n+2)^{2}}\Big\vert \leq \Big\vert \frac{(-1)^{m}}{(3m+2)^{2} } \Big\vert .
    $$ Je te laisse trouver un $m$ pour approcher la valeur de $\quad\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(3n+2)^{2}},\ $ à $10^{-3}$ près
  • bonjour

    la convergence de ta série ne pose pas de problème et cette convergence est relativement rapide

    maintenant tu demandes une valeur du résultat ;
    en fonction des constantes classiques ? ($\pi, \gamma,$ G et ln2)
    c'est éventuellement possible

    le calcul empirique au millième près à la calculatrice te demandera une vingtaine de termes seulement

    cordialement
  • Bonjour,

    @jean lismonde, cette série ne s’exprime pas explicitement à partir de constantes. Essaie (et abandonne rapidement).
    De plus $10$ termes suffisent puisque $(3.9+2)^2<1000, (3.10+2)^2>1000.$ Je trouve $S_{10}=0,220(8).$
  • Algebras:

    Dans le cas d'une série alternée $\sum (-1)^n a_n$ avec $(a_n)$ une suite strictement décroissante qui tend vers $0$ on a que la suite composée des sommes partielles de rangs pairs et la suite composée des sommes partielles de rang impairs sont des suites adjacentes

    Voir:

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_alternée

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_suites_adjacentes
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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