Série à termes positifs

Salut. Est ce que si $\sum u_{n}$ est une série à termes positifs convergente alors $\sum (u_{n})^{2}$ est convergente? Aussi pour $\sum (u_{n})^{a}$, $\forall a>1$.

Réponses

  • Bonsoir,

    Supposons que la série de terme général $u_n$ converge.
    Alors, d'après une condition nécessaire de convergence, $(u_n)_n$ converge vers $0$.
    Donc, en revenant à la définition de la convergence vers $0$ d'une suite dont tous les termes sont positifs, on dispose de $N\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\geqslant N$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
    Donc, pour tout $n\geqslant N$, $0\leqslant u_n^2\leqslant u_n$.
    On conclut à l'aide d'un critère de comparaison (par inégalité) dans le contexte des séries à termes positifs (conséquence du théorème de limite monotone dans le contexte séquentiel).

    Cordialement,
  • On dit "série à termes positifs", ce qont les termes dont on donne le signe. Par simplification, certains parlent de "série positive", mais ce qui est positif, ce sont les termes de la série.

    Cordialement.
  • Merci beaucoup. Est ce qu'il y a un exemple de série $\sum u_{n}$ qui est convergente, mais $\sum (u_{n})^{2}$ ne converge pas?!
  • @algebras:

    considère $u_n = \displaystyle\frac{(-1)^{n}}{n^{1/4}}$
  • Ta série n'est pas à termes positifs.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • merci.mais pourquoi cette série est convergente?
  • @fdp: relis le fil depuis le début :)
  • @algebras: mot clé: critère spécial de convergence des séries alternées de Leibniz
  • Merci infiniment @Bbidule. j'ai seulement une question: Comment calculer la valeur de la série $\sum \dfrac{(-1)^{n}}{(3n+2)^{2}}$ à $10^{-3}$ près?
  • @algerbas: ton cours sur les séries alternées te montre que tu peux majorer facilement le reste d'une série alternée convergente...
  • J'ai bien relu mais la série de terme général:

    $u_n = \displaystyle\frac{(-1)^{n}}{n^{1/4}}$ n'est pas une série à termes positifs.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • MAIS AVEC QUOI ON PEUT LA MAJORER ?
  • On peut aussi MINORER le terme général. la valeur de la série par les des sommes partielles.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Mais comment!
  • @fdp: algebras ne souhaitait manifestement pas un exemple dans le cas positif, car ce cas a été traité dans le cas général au niveau du 2ème post...

    @algebras: je n'aime pas les capitales d'imprimerie, et t'invite à ouvrir sereinement ton cours sur les séries !
  • C'est un théorème général sur les séries alternées.

    De mémoire, si $(u_n)$ est une suite strictement décroissante, la série $\displaystyle \sum (-1)^n u_n$ converge et on sait minorer/majorer cette série par les sommes partielles suivant que le rang est pair ou impair.


    Bbidule:

    Hormis le fait que dès que $n$ est grand on a $0<u_n^2<u_n$ je n'ai strictement rien compris à ton explication.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • @fdp: mot clé: critère de comparaison (par inégalité) dans le contexte des séries à termes positifs.

    C'est un théorème standard que l'on voit à bac+1 au niveau du chapitre "Séries", rubrique "Séries à termes positifs" (je ne connais pas ton niveau).
    Ce théorème se démontre en remarquant que la suite des sommes partielles associée à une série dont le terme général est positif est croissante, et est donc convergente si majorée, en vertu d'un théorème de limite monotone.

    Cordialement,
  • Ce que tu veux dire est:

    Puisque qu'il existe $N_0$ entier tel que pour tout $n>N_0$ , $u_n^2<u_n$ la série de terme général $u_n$ étant convergente il en va de même de la série de terme général $u_n^2$.
    Car, dès que "le" reste de la série de terme général $u_n$ est petit il en est de même du reste de la série de terme général $u_n^2$ puisque ce reste est plus petit que le précédent.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • @fdp: comme la série de terme général $u_n$ converge, la suite des sommes partielles associée à cette série est convergente, donc bornée, a fortiori majorée.
    La suite des sommes partielles associée à la série de terme général $u_n^2$ est croissante (car $u_n^2\geqslant 0$) et est donc majorée en vertu de ce qui précède et de l'inégalité impliquant $u_n$ et $u_n^2$, donc convergente, en vertu d'un théorème de limite monotone.

    Bonne nuit !
  • Est-ce que la série suivante est convergente $\sum\dfrac{1}{2^{n}}$
  • Un élève de terminale pourrait (presque) répondre à cette question. Jamais entendu parler de suite géométrique et de la formule qui donne la somme des premiers termes d'une telle suite?


    Bdibule:
    " en vertu d'un théorème de limite monotone":

    Ce n'est pas plutôt en vertu de:

    $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} u_n$ converge si et seulement si la suite définie par $R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty} u_n$ tend vers $0$ ?
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjours ou bonsoirs (Voir l'heure )
    La fonction $Zeta$ de Riemann et la série d'Euler pour les puissances impaire sont un contre exemple fort de cette proposition .
  • @fdp: non non, c'est bien un théorème de la limite monotone dans le contexte des suites réelles que j'utilise pour conclure.
  • Fin de partie écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1722640,1722700#msg-1722700
    > $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} u_n$ converge si et seulement si la suite définie par $\displaystyle R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty} u_n$ tend vers $0$ ?

    Cela ne veut rien dire. Votre suite n’est pas définie, justement ! La notion de reste ne concerne qu’une série convergente.
  • DSCH:

    Je comprends l'objection.

    Peut-être que je devrais plutôt écrire:



    $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} u_n$ converge absolument si et seulement si la suite définie par $u_N=\sum_{n=N+1}^{\infty} \left|u_n\right|$ tend vers $0$

    La suite est à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}$.

    PS:
    Je ne comprends toujours pas l'intérêt de parler de "convergence monotone" dans le contexte.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Personne n’a parlé de convergence monotone, et ce que vous écrivez n’a toujours aucun sens.
  • En quoi cela n'a pas de sens? Tu ne sais pas ce qu'est $\overline{\mathbb{R}}$?

    PS:
    Quand j'étais étudiant en troisième année j'avais un assistant de TD (en calcul intégral) à chaque fois que tu lui posais une question il te faisait une réponse lapidaire, généralement un truc compliqué pour répondre à une question "simple" et il ajoutait je peux vous expliquer cela tout de suite en cinq minutes. Mais il se gardait bien de le faire en réalité et au final tu devais te contenter d'une réponse pompeuse sans réelle explication digne de ce nom.

    Après il ne faut pas s'étonner que pour beaucoup de gens les mathématiques soient aussi vues comme un enseignement où des profs se paient de mots au lieu d'adapter des réponses au niveau de ceux qui posent les questions.
    ( http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1722640,1722694#msg-1722694 )
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Relisez-vous avant de jouer les martyrs.
    Est-ce si difficile de reconnaître vos torts, en l’occurrence que vous avez confondu le théorème de la limite monotone, pourtant clairement évoqué par Bbidule, et le théorème de la convergence monotone, totalement hors-sujet ici ? Même une fois votre coquille corrigée, ce n’est pas en inventant des suites constantes égales à l’infini que vous allez démontrer quoi que ce soit.
    J’arrête là, j’ai autre chose à faire de mes week-ends que de troller sur un forum, et j’imagine que l’initiateur du fil saura faire la différence entre les explications très claires de Bbidule, et les messages visant juste à polluer son fil.
  • DSCH:

    Vous vous engouffrez dans une erreur de dénomination que j'ai commise pour ne pas parler du fond (
    Une série de nombres positifs converge toujours dans $\overline{\mathbb{R}_+}$

    Oui, j'ai confondu "théorème de la limite monotone" et "théorème de la convergence monotone".
    Mais il faut dire que la dénomination ""théorème de la limite monotone"" dans le cas de suites, je ne l'utilise pas (qui utilise cette dénomination?). Si j'ai bien lu dans le cas de suites, ce théorème affirme qu'une suite croissante majorée est convergente (ou qu'une suite minorée décroissante est convergente)
    Ce théorème est connu dans l'enseignement secondaire mais il ne porte pas de nom à ma connaissance.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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