Evaluer l'erreur lors d'une résolution numérique d'EDP

Cédric

Bonjour à tous,

La question pourra surement vous sembler naïve (voire stupide), mais je fais face à un problème. J'ai utilisé la méthode des élements finis pour résoudre une EDP, un maillage triangulaire avec des elements P1 (donc j'ai cherché une solution affine "par morceaux", où les morceaux sont des triangles).
J'ai donc maintenant une solution dans cet espace de dimension finie, et j'aimerais bien savoir comment évaluer l'erreur par rapport à l'unique solution dans l'espace de dimension infinie du problème non discrétisé.... mais comment faire ?? Y a-t-il une méthode pratique pour calculer cette erreur ?

J'ai par ailleurs cru comprendre qu'il existe des résultat théorique (Lemme de Céa il me semble) qui permettent de dire que l'erreur est "linéaire" par rapport à la taille des mailles (des triangles). Quelqu'un peut il me confirmer ce résultat ?

Merci d'avance à ceux qui ont pris la peine de lire ce post. Désolé pour ceux que l'analyse numérique répugne

@+ Cédric

pikpik

il me semble bien que le lemme de céa doit répondre à ta question

JJ0

Bonjour,

n'ayant pas d'expérience concrète avec ce "lemme de Céa", je ne peux que faire état de deux autres méthodes dont j'ai eu l'occasion de faire usage :
- La plus courante est très empirique (Messieurs les mathématiciens, ne lisez pas, si vous voulez rester zen) : avec les mêmes données on fait des simulations successives pour des dimensions de mailliages décroissantes. L'évolution du résultat donne une notion des déviations. Une extapolation (osée !!!) peut donner un ordre de grandeur des erreurs par rapport à la limite.
- La meilleure et la plus sûre, mais malheureusement la plus difficile, voire infaisable en pratique dans la majorité des cas : résoudre analytiquement le problème et obtenir le résultat par calcul non discrétisé. On peut alors comparer les résultats des calculs par discrétisation avec le résultat analytique. C'est connu pour des "cas d'école" que l'on trouve dans les ouvrages traitant de configurations particulièrement simples. Mais, en pratique, on est confronté à des EDP avec des conditions aux limites mixtes, par exemple de Dirichelet-Fourier-Neumann. La résolution analytique est une question très difficile qui demande un travail considérable et dont on vient rârement à bout. Néanmoins, on y arrive parfois et c'est si exceptionnel que cela peut mériter une publication. (personnellement, je n'ai l'expérience que d'un seul cas et l'enseignement qui en a été tiré a été très fructueux et a effectivement justifié une publication)

GPP290

Bonjour,
En complément du post de JJ
Il m'est arrivé (dans un passé lointain) d'utiliser la méthode suivante pour me faire une idée de la valeur d'une modélisation.
Soit à résoudre l'équation :
(1) AU = g sur une domaine D
(2) BU = h sur la frontière de D
où :
A est l'opérateur d'une EDP linéaire
g est le second membre de l'EDP
B et h expriment les conditions aux limites données au bord du domaine.
On choisit une discrétisation du problème, par exemple avec des éléments finis. On obtient un système linéaire à résoudre, dont la taille est égale au nombre d'inconnues de la discrétisation. Le second membre du système résulte de la discrétisation de g et de h.

Pour évaluer la modélisation, on choisit arbitrairement une fonction analytique U0 et on résoud le système :
(3) AU = AU0 dans le domaine
(4) BU = BU0 sur la frontière

Si le problème est bien posé (existence et unicité de la solution), U0 est solution de (3) et (4)
Il suffit alors de comparer la solution analytique U0 que l'on connaît à la solution numérique obtenue avec la discrétisation choisie.

Bien sûr, on ne choisit pas n'importe quoi pour U0. Il vaut mieux choisir des fonctions qui mettent en valeur les points délicats de la modélisation (par exemple les concentrations de contraintes en mécanique)

Cette approche n'a pas de prétentions théoriques, mais permet d'améliorer des solutions pratiques.

Cédric

Merci beaucoup pour vos réponses ! Déja ça me rassure, la réponse semble pas être d'une évidence enfantine, et je n'aurais donc pas à m'exhiler avec des plumes et du goudron sur le corps !

Avec mes faibles moyens (je suis qu'en spé donc c'est limité en maths) j'ai pour le moment trouvé des solutions qui concordent parfaitement avec celle d'un logiciel (FlexPDE...) donc je vais y aller de manière barbare puisqu'il n'y a pas le choix on dirait, je vais regarder la différence entre ma solution et celle proposée par le logiciel, dont on sait que l'erreur n'excederait pas une valeur donnée ; j'espérais y échapper mais bon, quand faut y aller...

Merci encore @+