Monôme

jaccuzzi

Bonjour
J'ai encore une petite question sûrement facile pour certains.

Voila, je considère le polynôme $\phi$ à $n$ indéterminées $X_1,\ldots,X_n$ défini par

$\phi(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{(e_1,\ldots,e_n) \in \{0,1\}^n} X_1^{e_1}\ldots X_n^{e_n}$

$\phi$ a donc $2^n$ monômes. Est-ce que tout multiple $\psi$ non nul de $\phi$ a plus de $2^n$ monômes ?

.Encore merci à vous !!!

Poirot

Oui, puisque si tu multiplies $\phi$ par un monôme, tu obtiens de nouveau un polynôme ayant $2^n$ monômes distincts, et comme tout polynôme $\psi$ est somme de monômes, tu as donc bien au moins $2^n$ monômes dans $\psi \phi$.

jaccuzzi

Ah bon ? Mais il peut y avoir des collisions qui annulent certains d'entre eux non ?
Bon je n'ai pas trop compris l'argument alors !

L'Axone du Choix

L'argument de Poirot me semble en effet bien incomplet...
On peut procéder par récurrence:
Pour $n=1$ c'est évident.
Ensuite, $\phi_{n+1}(X_1, \dots, X_{n+1})=(X_{n+1}+1)\phi_n(X_1, \dots, X_n)$.
Multiplions par $\psi$, puis évaluons en $X_{n+1}=0$. Par hypothèse de récurrence, on obtient au moins $2^n$ monômes ne contenant pas $X_{n+1}$. D'autre part, les monômes obtenus du terme $X_{n+1} \psi \phi_n(X_1, \dots ,X_n)$ sont tous divisible par $X_{n+1}$, et sont encore au moins au nombre de $2^n$ (appliquer l'hypothèse de récurrence à $\psi \phi_n$ après avoir spécialisé en $X_{n+1}=X_n$ par exemple).

jaccuzzi

super merci...:)
Je crois avoir compris mais je vais l'ecrire pour m'en convaincre!

Poirot

Oui je suis allé un peu vite, désolé !

jaccuzzi

et si maintenant je généralise en considérant le polynôme $\phi$ à $n$ indéterminées $X_1,\ldots,X_n$ défini par

$\phi(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{(e_1,\ldots,e_n) \in \{0,1\}^n} a_{e_1,\ldots,e_n} X_1^{e_1}\ldots X_n^{e_n}$ avec $a_{e_1,\ldots,e_n}\neq 0$.

$\phi$ a encore $2^n$ monômes. Est-ce que tout multiple $\psi$ non nul de $\phi$ a plus de $2^n$ monômes ? Ou peut-on au moins minorer ce nombre de monomes?

jaccuzzi

Je crois que la preuve de l'axone du choix peut etre facilement adaptée pour montrer que tout multiple de $\phi$ (de la forme proposée) a au moins autant de monomes que $\phi$.
Merci a vous