Droite d'Euler
Bonjour,
Voilà un problème posé par Antreas Hatzipolakis ce matin sur la liste Hyacinthos:
$ABC$ est un triangle de droite d'Euler $(OH)$ ($O$ le centre du cercle circonscrit $\Gamma$ et $H$ l'orthocentre).
$P$ est un point quelconque de cette droite défini par $\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OH}$ ($t \in \mathbb{R}$).
$A'B'C'$ est le triangle circumcévien de $P$ par rapport à $\Gamma$
$A'',B'',C''$ sont les points diamétralement opposés à $A'B'C'$ dans $\Gamma$ .
$A^*B^*C^*$ est le triangle formé par les droites $(AA''),(BB''),(CC'')$.
$O^*$ est le centre du cercle circonscrit $\Gamma^*$ et $H^*$ est l'orthocentre du triangle $A^*B^*C^*$.
$P^*$ est le point défini par $\overrightarrow{O^*P^*}=t\overrightarrow{O^*H^*}$ avec le même $t$.
Il se demande alors pour quels points $P$ de la droite d'Euler de $ABC$ le point $P^*$ est aussi sur la droite d'Euler du même triangle $ABC$ et en cite $4$.
Avec Morley circonscrit, je trouve que c'est le cas pour tout point $P$ de la droite d'Euler de $ABC$.
L'expression de $P^*$ en fonction de $t,s_1,s_2,s_3$ est par contre assez compliquée.
Cordialement,
Rescassol
Voilà un problème posé par Antreas Hatzipolakis ce matin sur la liste Hyacinthos:
$ABC$ est un triangle de droite d'Euler $(OH)$ ($O$ le centre du cercle circonscrit $\Gamma$ et $H$ l'orthocentre).
$P$ est un point quelconque de cette droite défini par $\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OH}$ ($t \in \mathbb{R}$).
$A'B'C'$ est le triangle circumcévien de $P$ par rapport à $\Gamma$
$A'',B'',C''$ sont les points diamétralement opposés à $A'B'C'$ dans $\Gamma$ .
$A^*B^*C^*$ est le triangle formé par les droites $(AA''),(BB''),(CC'')$.
$O^*$ est le centre du cercle circonscrit $\Gamma^*$ et $H^*$ est l'orthocentre du triangle $A^*B^*C^*$.
$P^*$ est le point défini par $\overrightarrow{O^*P^*}=t\overrightarrow{O^*H^*}$ avec le même $t$.
Il se demande alors pour quels points $P$ de la droite d'Euler de $ABC$ le point $P^*$ est aussi sur la droite d'Euler du même triangle $ABC$ et en cite $4$.
Avec Morley circonscrit, je trouve que c'est le cas pour tout point $P$ de la droite d'Euler de $ABC$.
L'expression de $P^*$ en fonction de $t,s_1,s_2,s_3$ est par contre assez compliquée.
Cordialement,
Rescassol
Réponses
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Bonjour Rescassol
On peut nettement simplifier l'énoncé de ton problème car le triangle $A^{\ast }B^{\ast }C^{\ast }$ n'est autre que le triangle antipodaire de $P$ (de côtés les perpendiculaires en $A$ à $AP$, en $B$ à $BP$, en $C$ à $CP$), que $P$ soit ou non sur la droite d'Euler.
Amicalement. Poulbot -
Bonsoir,
D'accord, Poulbot, c'est vrai, Antreas a souvent tendance à compliquer ou à crypter les énoncés.
Mais quelqu'un a-t-il d'autres idées pour la question posée ?
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Un exercice proposé par Rescassol et non résolu.
Amicalement
-
Bonjour,
Cette question est résolue, voir: http://hyacinthos.epizy.com/message.php?msg=28158 .
On peut trouver ce lien... et bien d'autres choses sur https://groups.io/g/euclid.
Cordialement, Pierre.
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Bonjour!
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