Nature d'une intégrale

totem

Bonjour,
nature de l'intégrale de la fonction $ f(x) = cos(x²/(1+x)) $ en $ +oo $.

Règle des équivalents : ne marche pas car f n'est pas de signe constant.
IPP : pas réussi...
Changement de variable: c'est encore pire ?

Des idées ? Merci !

PS; j'ai mis des dollars...c'est mieux ?

zorg69

peut-être à première vue écrire x²=x²-1+1=(x-1)(x+1)+1 puis diviser par (x+1). Ce n'est à première vue qu'une idée mais bon....

YvesM

Bonjour,

Indication : $f$ est de signe constant sur des intervalles.

Tu n’as pas écrit lisiblement avec le signe dollar. Toujours allergique ?

totem

C'est fait qu'en penses-tu ?

totem

@zorg : j'obtiens avec les formules d'addition suivant ton conseil :

$ f(x) = \cos(x-1)\cos(1/(x+1)) -\sin(x-1)\sin(1/(x+1)) $

La partie à droite du signe moins tend vers 0, l'autre partie est équivalente à $ \cos(x-1)$...mais je ne sais toujours pas conclure à cause du signe non constant de tout ce bazar.

Au fait je me pose la même question pour $g(x) = \cos\big(\ln(x)\big) $.

@Yves: oui tu as raison mais je ne sais pas quoi faire de cette information.

YvesM

Bonjour,

Apprends à écrire avec des dollars.
Puis considère l’integrale sur $[a, A[$ avec $A>a>0$. Effectue un changement de variables pour mettre un $\cos y$. Utilise la relation de Chasles pour découper l’integrale pour que le cosinus reste de signe constant. Écris ’integrale sous la forme d’une somme. Considère deux parties consécutives : l’une où le cosinus est positif, l’autre où il reste négatif. C’est à cette étape que le truc s’arrange bien...
Révise comment écrire avec des dollars.
Conclut.

totem

OK je vais essayer.
Puis-je appliquer la même méthode avec $\cos(\ln(x)) $ ?

Math Coss

Je pars de \[f(x) = \cos(x-1)\cos\frac1{x+1} -\sin(x-1)\sin\frac1{x+1}.\]On compare le deuxième terme $g(x)=\sin(x-1)\sin\frac1{x+1}$ à son équivalent, $\sin(x-1)\times\frac1{x+1}$. Pour cela, on utilise par exemple l'inégalité de Taylor-Lagrange pour la fonction sinus sur un intervalle de la forme $[0,u]$ sous la forme : $|\sin u-u|\le\frac{u^2}{2}$. Cela donne : \[\left|g(x)-\frac{\sin(x-1)}{x+1}\right|\le\frac{1}{2(x+1)^2}.\] On montre classiquement que l'intégrale de $t\mapsto\frac{\sin(x-1)}{x+1}$ est convergente (par exemple par intégration par parties) ; la différence avec celle de $g$ est une intégrale absolument convergente donc l'intégrale de $g$ est convergente.

Pour le premier terme, on procède de même. Comme $\left|\cos(x-1)\cos\frac{1}{x+1}-\cos(x-1)\right|\le\frac1{2(x+1)^2}$, les deux intégrales sont de même nature, sauf que cette fois, l'intégrale de $x\mapsto\cos(x-1)$ est divergente.

Pour l'intégrale de $\cos\ln x$, j'essaierais de montrer que ça diverge en minorant la valeur absolue de l'intégrale de $\exp(\frac\pi2+k\pi)$ à $\exp\bigl(\frac\pi2+(k+1)\pi\bigr)$.

totem

@Mathcoss: du coup tu conclus que l' intégrale de f diverge ? je n'ai pas très bien compris...

TomasV

La primitive de cos (ln(x)) se calcule est c'est x/2 [sin(ln(x)) + cos(ln(x))] .

totem

@ThomasV: moi je suis allègrement passé par l'exponentielle complexe ...et toi ?

TomasV

2 lignes d'intégration par parties (en écrivant cos(ln(x)) = x . cos(ln(x)) / x )

totem

En fait je me demandais si la primitive de $ x^i $ est bien $ x^{i+1} /(i+1) $ ?
$i$ base des imaginaires purs.

[Pour $\LaTeX$, encadrer par des $\$$ et laisser tomber les bannières [tex]. ;-) AD]

gerard0

Totem,

comment définis-tu $x^i$ ??
Si tu sais le définir, tu peux répondre à ta propre question (à supposer que tu saches intégrer des fonctions complexes de la variable réelle).

Cordialement.

totem

@gerard: salut Grand Inquisiteur !

je dirais que $x^i= e^{i\ln(x)}$, mais je ne sais pas intégrer cela...!
Par contre je sais que la primitive de $e^{ix}$ est $e^{ix}/i$

@AD: je m'emmêle les saucisses avec les dollars désolé.

[Laisse tomber les bannières [ sup] etc.
Fais Clic droit sur un expression > Afficher sous forme > Commande Tex, pour voir le code LaTeX. AD]

Poirot

Faisons le raisonnement dans l'autre sens : soit $\alpha \in \mathbb C$. Sais-tu dériver la fonction d'une variable réelle $x \mapsto x^{\alpha}$ ?

totem a écrit:

Par contre je sais que la primitive

UNE PRIMITIVE

totem

Et on dit UNE dérivée ou LA dérivée ?(:D

En passant par l'exponentielle complexe je dirais ax^a-1 comme avec les réels en fait... mais je ne suis pas du tout sûr de moi !!

Tryss

LA dérivée parce qu'elle est unique, UNE primitive parce qu'il y en a plusieurs.

totem

ah bon ? LA dérivée de x²/2 est-elle x ou exp(ln(x)) ou ln(exp(x)) ou x²/x ou x+1000-1000 ou Arctan(tan(x)) ou (x³)^1/3ou...??

Je vous vois venir, avec vos intervalles de définition !!

Math Coss

totem a écrit:

ah bon ? LA dérivée de $x^2/2$ est-elle $x$ ou $\exp(\ln(x))$ ou $\ln(\exp(x))$ ou $x^2/x$ ou $x+1000-1000$ ou $\arctan(\tan(x))$ ou $(x^3)^{1/3}$ ou...??

Toutes ces expressions sont égales (sur $\R^{+*}$ du moins) et elles définissent toutes la même fonction. Enfin, pour peu qu'on y mette du sien. Y mettre du sien, ça veut dire considérer pour une expression la plus grande partie de $\R$ sur laquelle on peut l'évaluer. Pour $x^2/2$, tu dois donc vouloir parler de $f:\R\to\R$, $x\mapsto x^2/2$. Note que pour $x=-\pi/2$ ou $x=0$, les expressions $\exp(\ln(x))$, $x^2/x$ et $\arctan(\tan(x))$ n'ont pas de sens, ces expressions ne sont pas qualifiées pour définir la dérivée de $f$. (On peut discuter pour $(x^3)^{1/3}$ et pour $x=9\pi/4$, $\arctan\tan x\ne x$.)

Tu sous-entends que si on change le domaine de définition, on change la fonction : tu as raison ! Pour autant, chacune des fonctions ainsi définies a une seule dérivée et une infinité de primitives. On dit donc la dérivée d'une fonction.

totem

@ Math Coss:

Pourquoi ça ne marche pas -Pi/2 pour x²/x ?? Pour Arctan(tan(x) on peut passer à la limite...