Convexité d'une fonction

fatimmpa

Bonjour tout le monde (:P)

Voilà une fonction, que j 'aimerais savoir si elle est convexe, concave ou pas. J' ai calculé la matrice hessienne sauf que son déterminant est négatif donc je n'ai pas pu conclure, j'ai besoin de votre aide : la fonction est

f(x,y) = - x^(5/3) + sqrt(|y|),

x est une variable négative y est dans l'espace des nombres réels.
Merci.

Tryss

Est-ce que la fonction $y\mapsto \sqrt{|y|}$ est convexe? concave? Que peut tu donc en déduire sur $f$?

zorg69

L'application module est convexe, en revanche l'application radical ne l'est pas. Donc...

Tryss

@zorg, ça n'est pas un bon argument : l'application $f(x)= x^2$ est convexe, $g(x) = \sqrt{x}$ n'est pas convexe, mais $g(f(x)) = |x|$ est pourtant bien convexe.

math2

Déjà si $x$ est négative, je ne connais pas le sens de $x^{5/3}$. Le moins est-il à l'intérieur de la puissance ???

Mis à part ce problème de définition, je développe un peu ce que te dit Tryss.

Sinon notons $f$ ta fonction de deux variables. Que peux-tu dire de la fonction $g:y \mapsto f(0,y)$ (j'imagine que la partie en $x$ est prolongée par continuité en $0$). Un graphe de cette fonction ainsi que la caractérisation de la convexité / concavité en terme de position du graphe devrait te permettre de conclure (attention la fonction est concave sur $\R^+$ et sur $\R^-$, mais pas sur $\R$).

Cela devrait te permettre de conclure pour la fonction de deux variables, car on voit à l'aide de la définition que si $f$ est convexe (ou concave) il en est de même de la fonction $g$ (pour cela plus besoin de l'expression de $f$, on écrit la définition de la convexité).