Équations matricielles

Salut est-ce que quelqu'un peut m'aider svp car je bloque sur cet énoncé. J'ai pensé à résoudre cette équation $AX=XA$ d'inconnue $X$ dans $M_{3}(K)$ mais il me semble que les calculs sont très compliqués ce qui n'est pas le cas dans $M_{2}(K)$.78940

Réponses

  • Je pense qu'il est attendu un "gros calcul" pour le 1…

    Mais si tu veux, tu peux chercher une autre matrice plus simple (avec plus de 0, pour simplifier les calculs) telle que $X \in \mathcal{M}_3(K)$ commute avec $A$ si et seulement si elle commute avec cette autre matrice.
  • Je n'ai pas vérifié mais si A est diagonalisable ( notons D la matrice diagonale), alors X commute avec A si et seulement si X commute avec D

    X commute avec D si et seulement si PXP^{-1} commute avec A
    Merci moduloP pour cet egarement
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Pour la question 1), si on considère le modèle de matrice suivant \begin{pmatrix}
    a & b &c \\
    d & e & f\\
    g & h & i
    \end{pmatrix}

    Les matrices recherchées sont de la forme :
    \begin{pmatrix}
    a & 0 & 0 \\
    3e-3a & e & f\\
    3f & f & e+f
    \end{pmatrix}

    Je te laisse faire les calculs, tu as la réponse (mais je t'avoue que ce n'est pas très passionnant comme exercice).
  • @Rietveld je ne comprends pas à quoi te sert d'écrire la première matrice...
  • Merci pour vos réponsws
  • @lesmathspointclaires : Je m'étais dit que ça pouvait l'aider de manière visuelle en se disant qu'elle devait montrer que $b$ et $c$ sont nuls, que $d$ vaut $3e - 3a$, etc dans sa résolution, car ce sont ces points qu'elle n'a pas du voir lors de sa résolution.
    Je pense qu'il ne faut pas aller trop vite, toutes sortes de personnes se croisent ici (des novices aux très expérimentés).

    Sinon, en elle-même, en balayant ces considérations pédagogiques, elle ne sert strictement à rien.
  • @Gebrane : ici Comment tu fais pour démontrer ce que tu dis ?
  • corrigé merci moduloP
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Ah oui Gebrane, mais ça ne fonctionne pas aussi facilement, quand on dit une connerie on doit fournir un contre exemple, non mais :-D
  • La je suis dans le chez toi ( Forum d’algèbre) , alors soit indulgent avec moi sinon dans le chez moi (Forum d'analyse) je serais sévère avec toi :-D
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Alors, on prend
    $$
    A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
    $$
    $A$ commute avec $A$ mais $A$ ne commute pas avec $B$. normalement ca doit être un contre !
  • Je ne te suis pas! ma première affirmation était fausse car j'ai oublié les matrices de passage.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Oui oui ! Mais je voulais un contre exemple de pourquoi elle est fausse, j'ai pas précisé mais $A$ et $B$ sont semblables.
  • Avec tes notations : mon A = ton D et mon B c'est ton A :-D
  • Ah oui je comprends ton insistance :-D, tu voulais prouver au monde que j'ai bien dit une belle connerie et à l'appui un contre exemple :-D
    gebrane confesse à moduloP j'ai bien dit une connerie
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Non, juste j'aime bien les petits exemples, je préfère fais un petit exemple que de faire des démonstrations :-D
  • Bonjour,

    Si on écrit $A=I_3+B$ alors une matrice qui commente avec $A$ commute avec $B$ et vice versa. La matrice $B$ contient plus de $0$ et les calculs sont plus rapides...
  • Si $A$ est diagonale avec ses valeurs propres deux a deux distinctes l'equation $AX-XA=0$ se resout facilement. Et ton probleme initial se ramene a ce cas.
  • @gebrane : je suis déçu, je pensais que le pseudo gebrane venait d'algèbre :-(
  • @Rietveld

    Je viens de te lire. Pas de tout , je te rassure le pseudo
    gebr ane n'a aucun rapport avec l’algèbre sinon ça voudra dire qu'en algèbre gebr ane est un ...79008
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Ce à quoi ev te répondra qu’un âne est loin d’être bête.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
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