Binôme de Newton pour les matrices

Nemya

Salut
Est-ce que la formule du binôme de Newton reste valable pour deux matrices de $A$ et $B$ de même taille sans forcément être carrés

Dom

Déjà, quand les matrices sont carrées, ça coince.

Essayons de l'écrire, avec ou non des matrice carrées, par exemple pour des tailles autour de 2 et 3.

Poirot

Pour une matrice non carré $M$, ça n'a pas de sens de considérer le produit $M \times M$, donc encore moins une puissance $n$-ième !

Pour les matrices carrées, la question se pose, et la réponse est non en général : $(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2 + AB+BA+B^2$ par exemple. Vois-tu ce qui cloche ?

GaBuZoMeu

Non, pour deux raisons.
1°) Comment pourrait-on élever au carré, par exemple, une matrice non carrée ? Ça n'a pas de sens.
2°) Même si on est dans l'algèbre des matrices carrées de taille $n$, la formule du binôme ne s'applique que si les deux matrices commutent, or en général deux matrices ne commutent pas.

Nemya

Merci pour vos réponses, effectivement il faut que les deux matrices $A$ et $B$ commutent afin d'appliquer la formule du binôme de Newton et pour que le produit soit défini il faut que les matrices soient carrées.

ev

Comment fais-tu pour additionner des matrices qui n'ont pas la même taille ?

e.v.

Nemya

On ne peut pas additionner des matrices qui n'ont pas la même taille

nicolas.patrois

Tu peux essayer mais fournis-nous une opération intéressante.