Peut-on avoir $f(x,y,z) = g(x,y)$ ?

Ltav

Bonsoir
S'il vous plaît, une question simple, peut-être évidente, mais j'attends des avis.

Imaginons une fonction réelle $f(x,y,z)$ quelconque à trois variables indépendantes, définie sur un domaine $D$ de $\mathbb{R}^3$. Peut-on toujours écrire $f$ sous la forme d'une fonction $g$ à deux variables de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$, telle que : $$\forall (x,y,z)\in D,\quad f(x,y,z) = g(x,y)\quad ?
$$ (on peut aussi prendre $g$ fonction de n'importe quelle combinaison de deux variables parmi $x,y,z$).

En gros, une fonction réelle $f$ à trois variables est-elle en général une fonction réelle $g$ (*) à deux variables ?
Merci d'avance.

(*) Je ne parle pas d'une famille de fonctions $g_z$ (resp. $g_x$ ou $g_y$) obtenues en fixant la variable $z$ (resp. $x$ ou $y$) de $f$, mais d'une seule et même fonction.

jacquot

Bonjour Ltav,
Quelle fonction $g $ proposes-tu pour $f:\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R\ ; (x, y, z)\mapsto x+y+z $ ?

christophe c

On est vraiment dans le sujet du fil. De mon téléphone je propose un autre exemple que celui que Jacquot à proposé en réponse à Ltav dans

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1689432,1689432#msg-1689432

La fonction f: (x,y,z) |---> z définie sur IR^3

Ltav dans ce cas particulier demande s'il existe g telle que pour tout (x,y,z):

g(x,y) = z

Cyrano

Formulé comme tu le formules, c'est clairement faux. Cela dit :
Il existe une bijection $\varphi : \R^3 \to \R^2.$ Donc si $f : \R^2 \to \R$ alors $f\circ \varphi : \R^3 \to \R.$
Comme $\varphi$ est bijective, je crée ainsi une bijection entre les fonctions à $3$ variables et les fonctions à $2$ variables.

Ce n'est pas très intéressant car ça ne préserve pas la continuité par exemple.

GaBuZoMeu

Une question un peu moins ... disons naïve que celle de Ltav serait la suivante :
Soit $f : \mathbb R^3\to \mathbb R$. Existe-t-il une bijection $u: \mathbb R^3\to \mathbb R^3$ et une fonction $g: \mathbb R^2\to \mathbb R$ telle que $f=g\circ p\circ u$, où $p:\mathbb R^3\to \mathbb R^2$ est la projection qui oublie la troisième coordonnée ?
Jacquot et Christophe devront travailler un petit peu plus (pas beaucoup) pour fournir un contre-exemple.

jacquot

Effectivement GBZM,
Ma fonction $(x,y,z)\mapsto x+y+z$ ne fournit plus le contre-exemple cherché:
on pourra prendre $u:(x,y,z)\mapsto (x+y,z,x)$ et $g:(r,s,t)\mapsto r+s$
de sorte que $f=g\circ p\circ u$


Telle que tu la poses, la question reste ouverte pour moi.
Amicalement. jacquot

christophe c

@jacquot : pardon pour les coquilles dues à mon téléphone.

Je signale juste que j'ai posté le message précédent en vue de rappeler l'importance du LANGAGE MATHÉMATIQUE vivant à une époque de mode fallacieuse du "tout intuitif"

Sinon mais ce n'est plus trop mon souci car redevient des maths non linguistiques et je dois sortir je l'indique un point clé pour :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1689432,1689478#msg-1689478

qui ne change rien au schmilblic si tu lis bien que GBZM à dit que u est bijective.

pense à f rond u^-1

gebrane

Etant donné f je pose $u(x,y,z)=(f(x,y,z)-y,y,z)$ et $g(x,y)=x+y$ alors $f =g\circ p\circ u$ Non

GaBuZoMeu

Non. As-tu vérifié que ton $u$ est une bijection ?

gebrane

Je vois maintenant la difficulté.

GaBuZoMeu

Mieux vaut tard que jamais. ;-)

gebrane

Effectivement:-D
cc a donné une réponse que je n'ai pas compris

GBZM à dit que u est bijective. pense à f rond u^-1

GaBuZoMeu

Moi non plus. À mon avis, il est à côté de la plaque. Son "qui ne change rien au schmilblic" semble indiquer qu'il pense que les deux questions reviennent au même, ce qui serait clairement faux. Mais comme il reste dans un flou très artistique, on ne peut même pas dire que c'est faux.

moduloP

$f$ la fonction caractéristique de l'ensemble $\{(0,0,0)\}$ ?

jacquot

Bon, j'avais l'intention de basculer cette question en Logique et fondements. Comme ça, on pourra lire les interventions de cc dans le fil, en espérant qu'il s'appliquera à écrire joliment.

jacquot

J'ai rapatrié les messages de christophe relatifs à cette discussion, et je lui réitère publiquement ma demande de se relire et de corriger ses écrits.
On peut écrire joliment avec un téléphone. Il suffit de prendre son temps.
Sincèrement. jacquot

gebrane

Je pense que le contre de moduloP est bon , mais comment le justifier?

GaBuZoMeu

Soit $x\in \mathbb R^3$. On suppose $f=g\circ p\circ u$, comme dans la question. Que peut-on dire de $f^{-1}(f(x))$ ?

gebrane

Je passe la main à cc :-D

$f^{-1}(f(x))=\{y\in\R^3, f(y)=f(x)\}\supset\{x\}$ Apres je ne vois rien
edit Dis-moi : est ce que le f est celui de moduloP ?

jean lismonde

bonjour

existe-t-il deux fonctions f et g telles que $f(x;y;z) = g(x;y)$ ?

la réponse est oui

prenons $f(x; y ; z) = (2x + y - z + 2) - (x + 2y - z + 1)$
il s'agit de l'intersection de deux plans dans $R^3$

et $g(x ; y) = x - y + 1$

$f(x ; y ; z) = g(x ; y )$
quelles que soient (x ; y : z)

de même au second degré l'intersection de deux ellipsoïdes
peut être une ellipse située dans un plan parallèle à l'axe des z

il en est de même de l'intersection de deux hyperboloïdes de l'espace $R^3$

cordialement

gebrane

jean lismonde écrivait:

---

> bonjour
> existe-t-il deux fonctions f et g telles que
> $f(x;y;z) = g(x;y)$ ?
> la réponse est oui

prenons f et g les fonction nulles :-D

GaBuZoMeu

Dans la situation considérée, $f$ est juste une fonction, $g$ aussi, et $u$ juste une bijection. Tout est ensembliste. Pour un ensemble tout nu comme $f^{-1}(f(x))$ quel attribut peut-on considérer ?

christophe c

Merci Jacquot. @GBZM : non non je ne suis pas à côté de la plaque**. Mais souhaites tu vraiment que j'aide "encore plus" les intervenants que tu ne le fais? :-S

Je veux bien mais s'il y a une demande explicite de l'un ou l'autre.

** HS mais c'est de naissance ce style systématiquement cassant où tu te ( l'ai ) l'es forgée au cours de ta vie professionnelle? C'est quand même impressionnant :-D (il ne me gène pas car je l'ai constaté universel: tu ne le réserves pas à quelques uns. Mais je sais qu'il trouble certains familiers (surtout quand un peu "seniors"). HS OFF. (Je n'ai pas de leçon à donner c'est neutre)

gebrane

christophe c écrivait:

---

> Je veux bien mais s'il y a une demande explicite
> de l'un ou l'autre.

@cc je te fais la demande de m'expliquer ton idée:

pense à f rond u^-1

"en attendant que j'arrive à déchiffrer la question de gabu "

christophe c

Ok: à gauche tu as une injection si tu prends f convenable. À droite jamais!

jacquot

Bonsoir,

Par cette canicule l'attribut que l'on pourrait considérer serait-il le cardinal ?

Peut-être le contre-exemple cherché serait une bijection de $\mathbb R^3$ vers $\mathbb R$ ? je n'y vois pas encore clair,


Cependant pour la fonction de moduloP, je crois savoir exhiber $u$ et $g$
Prenons $u(x,y,z)=(\varepsilon(x)(x^2+y^2), z,y)$ où $\varepsilon$ prend la valeur $1$ sur $\mathbb R^+$ et $-1$ sur $\mathbb R^{*-}$
puis $g$ indicatrice de ${(0,0)}$ dans $\mathbb R^2$

@ suivre. jacquot, grillé par cc.

GaBuZoMeu

@jacquot : peux tu me trouver le $(x,y,z)$ tel que $u(x,y,z)=(0,0,1)$ ?

jacquot

Ah ? Ben non :-?

moduloP

Je fais le petit dessin :
$$
\xymatrix{
\R^3 \ar[d]^u \ar[r]^f & \R \\
\R^3 \ar[r]_{p}& \R^2 \ar[lur]^g
}
$$

gebrane

Merci cc bien vu

J'aime bien ton génie lorsque tu fais court et exclusivement maths. Tu deviens plus efficace !

GaBuZoMeu

Un contre-exemple (pas injectif, et différent de celui de modulo P) : la fonction
$$(x,y,z)\longmapsto \sin x+\sin y+\sin z\;.$$

christophe c

Le post de Jean Lismonde que je salue est tout de même collector quand j'y pense.

christophe c

Précision je n'avais pas vu ou fait attention au fait que IR est l'ensemble d'arrivée obligatoire mais ça ne change que peu de choses . Cependant ça rend ma réponse surfaite.

Ltav

Bonjour et merci à tous pour vos interventions, donnant lieu à de nouveaux développements.

Je pense donc qu'on peut acter que sauf cas très particuliers, une fonction à trois variables ne se ramène pas à une fonction à deux variables.

Soit $P_n$ le prédicat défini sur l'ensemble des fonctions à valeurs réelles : "est une fonction à $n$ variables".

Soit une fonction $f$ réelle. En général, on n'a pas la proposition (1) suivante :

$$ P_3(f) \Rightarrow P_2(f)$$

Équivalente à (1) est sa contraposée (2) :

$$nonP_2(f) \Rightarrow nonP_3(f)$$

La proposition (2) n'est donc pas vraie en général, i.e. démontrer qu'une grandeur n'est pas une fonction à deux variables n'implique pas qu'elle n'est pas une fonction à trois variables ou plus, d'après (3) :

$$\forall n\geq 3[nonP_2(f) \nRightarrow nonP_n(f)]$$

D'accord jusque là ?

Tout cela peut sembler extrêmement banal, c'est pourquoi je pensais avoir la berlue lorsque des intervenants ont soutenu vigoureusement le contraire de (3), i.e. qu'il était possible de déduire du fait qu'une grandeur physique n'était pas une fonction à deux variables qu'elle ne pouvait s'écrire comme une fonction à plus de deux variables...

moduloP

C'est quoi une fonction en $n$ variable ?

Ltav

@moduloP: je n'ai plus en tête la définition "officielle", mais je pense à une fonction à $n$ degrés de liberté...

GaBuZoMeu

Avant que ce fil ne sombre dans des histoires vaseuses :

1) Soit $f : \mathbb R^3\to \mathbb R$. Il existe une bijection $u: \mathbb R^3\to \mathbb R^3$ et une fonction $g: \mathbb R^2\to \mathbb R$ telle que $f=g\circ p\circ u$, où $p:\mathbb R^3\to \mathbb R^2$ est la projection qui oublie la troisième coordonnée, si et seulement si pour tout $x\in \mathbb R^3$, $f^{-1}(f(x))$ a la puissance du continu.

2) C'est plus intéressant si on met de la régularité.
Soit $f : \mathbb R^3\to \mathbb R$ une submersion $C^\infty$. Existe-t-il un difféomorphisme $u: \mathbb R^3\to \mathbb R^3$ et une fonction $ C^\infty$ $g: \mathbb R^2\to \mathbb R$ telle que $f=g\circ p\circ u$ ?
Je n'y ai pas vraiment réfléchi, mais je ne pense pas que la réponse soit positive.

christophe c

@GBZM : il y a quand même usage de l'axiome du choix pour ta première affirmation. Ça allait de soi mais je le précise du fait qu'on parle de IR.

Sinon j'ai l'impression que le sujet devient vite difficile (actuellement géré je crois par la topologie algébrique)

@Ltav :

1) "être une fonction de 3 variable n'a aucun sens mathématique. C'est une expression pédagogique. Ton prédicat n'est donc pas défini.

2) Pire: même s'il l'était comme tu ne mets pas de quantificateur ce que tu appelles contraposée n'en est pas une du tout. Par exemple "tous les cercles sont des ellipses" N'A PAS DE CONTRAPOSÉE car CE N'EST PAS une implication.

D'une manière générale la langue mathématique est ultra précise. Si tu oublies un signe c'est fini il n'y a pas de continuité du genre "peu de signes changés entraîne peu de sens changé"

De mon téléphone

gebrane

Bonjour,

Une âme charitable pour m'expliquer le 1) de Gabu dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1689432,1689916#msg-1689916?
Merci

Ltav

@Cc : merci de tes observations.

J'avais tenté de formaliser suffisamment pour que le sens soit clair, en m'aidant du français, sans prétendre plus. Je peux apporter les précisions suivantes à ta demande, mais je pense que tu avais bien compris le sens (tu souhaitais toi-même qu'on ne te "titille" pas trop sur le formel là où tu n'étais pas spécialiste).

$\forall n\in \mathbb{N}$, soit $P_n$ le prédicat défini sur l'ensemble $F$ des fonctions bien définies d'un ensemble quelconque à un autre, tel que $\forall f\in F$ :

$P_n(f)$ := "$f$ est une fonction à valeurs réelles à $n$ variables indépendantes sur un domaine de $\mathbb{R}^n$".

En général, on n'a pas la proposition $(1)$ suivante :

$$\forall f\in F\left(P_3(f) \Rightarrow P_2(f)\right)$$

Équivalente à $(1)$ est sa contraposée $(2)$ :

$$\forall f\in F\left(nonP_2(f) \Rightarrow nonP_3(f)\right)$$

La proposition $(2)$ n'est donc pas vraie, i.e. démontrer qu'une grandeur n'est pas une fonction réelle à deux variables sur un domaine de $\mathbb{R}^2$ n'implique pas qu'elle n'est pas une fonction à trois variables ou plus, d'où la proposition $(3)$ :

$$non\left[\forall n\geq 3,\forall f\in F\left(nonP_2(f) \Rightarrow nonP_n(f)\right)\right]$$

Es-tu d'accord avec $(3)$ ?

christophe c

@gebrzne: le sens "difficile" est une construction simultanée de u et g par récurrence ordinale. Maîtrises tu les ordinaux?

Ou avec l'aide du choix direct mais c'est un plus long à écrire et je ne le ferai pas de mon téléphone.

gebrane

Non , je ne maîtrise pas les ordinaux. Je dois savoir quoi a juste ? Je vais me documenter à ce sujet.

GaBuZoMeu

$\def\RR{\mathbb R}$Le "seulement si" du 1) est immédiat.
Attaquons nous au "si", sans ordinaux.

On part de $f$ tel que pour tout $x\in\RR^3$, $f^{-1}(f(x))$ a la puissance du continu. En particulier, pour l'origine $0\in \mathbb R^3$, il existe une bijection $$v=(v_1,v_2):f^{-1}(f(x))\to \RR^2\;.$$
Posons $$A=\big(f(\RR^3)\setminus\{f(0)\}\big)\sqcup \RR \quad\text{ (union disjointe)}\; .$$ Cet ensemble $A$ a la puissance du continu, soit $t:A\to \RR^2$ une bijection.

Définissons $\tilde f: \RR^3\to A$ par $\tilde f(x)=f(x)$ si $f(x)\neq f(0)$ et $\tilde f(x)=v_1(x)$ si $f(x)=f(0)$.
Définissons aussi $\tilde g : A\to \RR$ par $\tilde g(a)=a$ si $a\in f(\RR^3)\setminus\{f(0)\}$ et $\tilde g(a)=f(0)$ sinon.

On vérifie que :
1) $\tilde f$ est surjective,
2) pour tout $a\in A$, $\tilde f^{-1}(a)$ a la puissance du continu,
3) $\tilde g\circ \tilde f=f$.

Choisissons une famille $(w_a)_{a\in A}$ de bijections $w_a:\tilde f^{-1}(a)\to \RR$ (grâce à 2). On définit $u: \RR^3\to \RR^3$ par $u(x)=(t(\tilde f(x)),w_{\tilde f(x)}(x))$ ; $u$ est bien une bijection (grâce à 1). On définit $g:\RR^2\to \RR$ par $g(y)=\tilde g(t^{-1}(y))$ ; on a $f=g\circ p\circ u$ (grâce à 3).

PS. J'ai fait l'effort d'écrire formellement et en détail, pour que tout puisse être vérifié pas à pas. Mais l'idée est très simple :
a) Si $f(\RR^3)$ a la puissance du continu, on le bijecte avec $\RR^2$ et comme toutes les fibres de $f$ ont la puissance du continu on peut les bijecter avec $\RR$.
b) Sinon, on "éclate" un point de l'image de $f$, ici $f(0)$, pour obtenir un $\tilde f$ d'image qui a la puissance du continu et dont toutes les fibres ont encore la puissance du continu pour se ramener à la situation de a).

0ka

C'est un peu laborieux

GaBuZoMeu

Comme je l'explique dans mon PS, la partie "laborieuse" est l'éclatement d'un point de l'image de $f$ pour arriver à une image qui a la puissance du continu. Cette étape n'est pas nécessaire si l'image de $f$ a la puissance du continu, mais ça ne fait pas partie des hypothèses.
Si tu as une rédaction complète moins laborieuse, donne-la, ça m'intéresse.

christophe c

@oka: ce genre de choses est toujours très long à écrire (ça peut aller jusqu'à 50 pages très vite) mais "facile sur le principe" grâce à l'élasticité de l'infini qui est bien plus permissive que le corps du héros élastique des 4 fantastiques.

Dans le fini c'est souvent inversé et rigide: une fois qu'on a trouvé c'est court mais rien n'indique où passer.

@gebrane: les ordinaux c'est une chapitre de maths à part entière je ne peux pas le poster d'un téléphone. Mais une fois que tu les as tu remplis des cases (représentant chaque exigence individuelle de ton bit) une à une et non pas globalement donc d'un coup d'oeil on voit que ca marche (il reste toujours de la place) sauf quand GROSSE obstruction.

Googlise-les et fais l'exercice marronnier suivant: il existe une partie de IR de même cardinal que IR ne contenant aucun fermé non dénombrable.

Une fois ça fait la situation du fil te paraîtra routinière.

0ka

Tu peux faire comme si l'image de $f$ avait la puissance du continu en prenant une surjection de $\mathbb R$ dans $Im( f)$ non ?

GaBuZoMeu

Ta remarque montre que tu n'as pas compris la démonstration.
Bien sûr, on peut faire comme tu dis, mézalor comment on s'arrange pour relever $f$ en une surjection d'image $\mathbb R$ de telle façon que les fibres de la surjection relevée aient toujours la puissance du continu ?
Pousse ton idée jusqu'à en faire une démonstration complète, s'il te plait.

0ka

Ok j'essaie, mais faudrait le faire exprès pour que les fibres n'aient plus la puissance du continu, tout a la puissance du continu ici...

GaBuZoMeu

Là, tu baratines ...

0ka

Soit $h$ une surjection de $\mathbb R$ dans $Im(f)$.
Soit $(w_a)_{a\in Im(f)}$ une famille de bijections $w_a:f^{-1}(a)\to h^{-1}(a)\times \mathbb{R^2}$.

On définit :
$u=\bigcup_{a\in Im(f)} w_a$
$g=h\circ p$ avec $p$ la projection qui oublie la dernière coordonnée

ça a l'air de marcher