Anneau isomorphe à un anneau de polynômes

viko

Bonsoir
J'essaie de montrer que lorsque on dispose d'un anneau euclidien, qui n'est pas un corps, $A$ de stathme $v$ dans lequel pour tout $a,b \in A,\ b \neq 0$ il existe un unique couple $(q,r) \in A$ tel que $a =bq+r$ et ($r=0$ ou $v(r) < v(b)$) ce dernier est isomorphe à l'algèbre des polynômes sur un certain corps.

La correction dont je dispose propose de poser $k = A^\times \cup \{0\}$ et de vérifier que $A$ est isomorphe en tant qu'anneau à $k[X]$ mais déjà là j'ai un problème si je prends par exemple $\mathbb{Z}$ qui est euclidien lorsque qu'on le munit de la valeur absolue et bien dans ce cas notre "corps" sera $\{-1,0,1\}$ pourtant la stabilité par addition n'est pas du tout vérifiée. du coup j'ai envie de munir cet ensemble de la même structure que $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ la ça marcherait mais que dans ce cas particulier mais en général je ne vois pas comment procéder...

GaBuZoMeu

C'est quoi, les "coefficients de la division euclidienne" ?

viko

en relisant c'est pas super clair en effet.

Je veux dire que pour tout $a,b \in A,\ b \neq 0$ il existe un unique couple $(q,r) \in A$ tel que $a =bq+r$ et ($r=0$ ou $v(r) < v(b)$)

Champ-Pot-Lion

Et $\Z$ vérifie ça ?

viko

$\mathbb{Z}$ est euclidien, ce n'est pas un corps et on a l'unicité dans la division euclidienne non ?

Champ-Pot-Lion

Non, on n'a pas l'unicité, je te laisse chercher…

viko

en effet on a unicité lorsque on ajoute la condition $r > 0$ sinon le couple $(q+1,r-q)$ convient

Champ-Pot-Lion

Oui, voilà.

viko

qu'est-ce qu'on a comme anneau "simple" qui est isomorphe à une algèbre de polynôme à part, bien sûr, les algèbres de polynômes ?

Dom

J'allais tricher en proposant un ensemble de suites presque nulles de $0$ et de $1$ mais on a vu dans un autre fil que cela pouvait servir à définir les anneaux de polynômes...

Maxtimax

@viko :ta question n'a pas trop de sens puisque les anneaux sont en général considérés à isomorphisme près. Si on oublie ça, plein d'exemples triviaux s'ouvrent à nous : $\Z$ est en bijection avec $\Q[X]$ don en transférant la structure d'anneau de $\Q[X]$ sur $\Z$ via cette bijection, on obtient que $\Z$ vérifie cette propriété, et que ce n'est pas un anneau de polynômes. Évidemment ce truc se généralise sans avoir besoin d'y réfléchir mais surtout il fait voir que "isomorphe à une algèbre de polynômes", bah c'est "une algèbre de polynomes" (où les polynômes ont été renommés)

Champ-Pot-Lion

@Maxtimax La question de savoir si la propriété présentée au début de ce fil a une application non triviale est quand même intéressante… Je ne suis pas d'accord, la question a du sens.

viko

j'ai trouvé ça sur le net : https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rombaldi/AgregInterne/AnneauxEuclidiens.pdf, c'est la partie III qui est intéressante