Nouvelle conjecture de Legendre

Bonjour à tous

La conjecture de Legendre, énonce qu'il existe un nombre premier entre n2 et (n + 1)2 pour tout entier n >= 1.

La nouvelle conjecture de Legendre que je propose, énonce qu'il existe toujours un couple de nombres premiers (p, p') tels que :
n2< p < n(n+1) < p' < (n + 1)2, pour tout entier n > 1

Emphyrio

PS. On peut pousser l'audace en conjecturant de surcroît qu'il existe au moins un couple de nombres premiers (p, p') tel que : p + p' = 2n(n+1) c'est-à-dire que p et p' forment un couple de nombres premiers symétriques autour de n(n+1).

Exemples
22 < 5 < 2*3 < 7 < 32 soit le couple de premiers (5, 7)
32 < 11 < 3*4 < 13 < 42 soit le couple de premiers (11, 13)
42 < 17 < 4*5 < 23 < 52 soit le couple de premiers (17, 23)
52 < 29 < 5*6 < 31 < 62 soit le couple de premiers (29, 31)
62 < 37 < 41 < 6*7 < 43 < 47 < 72 soit deux couples de premiers possibles (41, 43) et (37, 47)

Etc...

Un contre-exemple ou une amorce de démonstration seraient bienvenus, d'avance merci...

Réponses

  • En même temps tout nombre pair supérieur à 4 a au moins un couple de nombres premiers $(p, p')$ tel que : $p + p'= 2\times 2n$
    Reste à le prouver ou trouver un contre-exemple.
  • En effet, écrire p + p' = 2n(n+1) ou comme vous l'indiquez p + p' = 2x2n cela résulte de la conjecture de Goldbach, je doute que l'on puisse trouver un contre exemple...
  • Tentative de preuve pour la conjecture de Legendre.

    Le théorème des nombres premiers affirme qu'un entier N sélectionné aléatoirement d'une manière brute possède une probabilité 1/ln(N) d'être premier disons le autrement la densité des nombres premiers autour de N quand N >> 1 vaut approximativement 1/ln(N).

    Dès lors, considérons l'intervalle [n2, (n+1)2] avec n >> 1 on remarquera qu'il est pratiquement symétrique autour de la valeur n(n+1) que l'on trouve au moins n entiers naturels situés de part et d'autre de cette valeur.

    Si l'on admet que la densité des premiers autour de n(n+1) vaut approximativement 1/ln(n(n+1)) et puisque la fonction 1/ln(x) varie peu sur l'intervalle [n2, (n+1)2] on peut écrire que lorsque n est grand alors cette densité vaut environ 1/2ln(n).

    Or cet intervalle contient au plus (2n+1) entiers on doit donc s'attendre à trouver en moyenne : (2n+1)/2ln(n) nombres premiers dans l'intervalle [n2, (n+1)2] soit environ n/ln(n) quand n est grand et donc par symétrie en moyenne n/2ln(n) premiers de part et d'autre de n(n+1). Ainsi, on peut énoncer que plus n est grand, plus il faut s'attendre à trouver des nombres premiers dans l'intervalle [n2, (n+1)2].

    Ainsi, la conjecture de Legendre qui affirme que l'on peut toujours trouver au moins un premiers entre [n2, (n+1)2] est très probablement vraie puisque la valeur de la preuve se renforce avec les valeurs croissantes de n et puisqu'il n'y a pas de contre-exemple pour les valeurs de n accessibles numériquement alors il est très raisonnable de penser qu'un tel contre exemple n'existe pas...

    Emphyrio

    P.s : Petite application pratique du résultat obtenu précédemment selon lequel il y aurait en moyenne n/ln(n) nombres premiers sur l'intervalle [n2, (n+1)2] quand n >> 1 sur l'étude de la convergence de la somme des inverses des nombres premiers.

    Chaque nombre premier pi contenu dans l'un de ces intervalles apporte une contribution 1/pi à la somme des inverses des nombres premiers telle que : 1/(n+1)2 < 1/pi < 1/n2 ainsi chaque intervalle [n2, (n+1)2] apporte en moyenne une contribution Si telle que :
    (n/ln(n))/(n+1)2 < Si < (n/ln(n))/n2

    Dès lors : 1/(n+1)ln(n+1) < Si < 1/nln(n) à l'aide du théorème des gendarmes, on peut déduire que la somme des inverses des nombres premiers diverge en +l'infini et l'on peut même s'attendre à ce qu'elle diverge comme l'intégrale de la fonction 1/xln(x) sur [x, +l'infini [ avec x > 1 or les primitives de la fonction 1/xln(x) avec x > 1 sont de la forme ln(ln(x)) + Cste. Ainsi, la somme des inverses des nombres premiers croît asymptotiquement comme la fonction ln(ln(x)) en +l'infini.

    [Restons dans la discussion que tu as ouverte sur ce thème. AD]
  • Bonjour.

    Tout ce que tu dis est connu depuis un siècle et demi. Il n'y a pas d'élément de preuve au sens mathématique, seulement l'expression d'une conviction.

    Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.