Exercice concernant les fonctions usuelles

Salut,je bloque sur cette exo est-ce que quelqu'un peut me donner des indications s'il vous plait78408

Réponses

  • Je n'ai pas fait les calculs, mais voici ce que je tenterais. J'appelle $\phi$ l'angle sous lequel on voit le piédestal. Clairement $\tan(\theta+\phi)$ et $\tan(\theta)$ s'expriment en fonction de $s,p,d$. Les formules de trigo permettent alors d'éliminer $\tan(\phi)$ et d'exprimer $\tan(\theta)$ en fonction de $s,d,p$ uniquement. La fonction $\tan$ étant strictement croissante sur $]0;\pi/2[$, on peut donc étudier la variation de $\tan(\theta)$ en fonction de $d$ et voir le $d$ qui la maximise (on suppose que l'angle est entre $0$ et $\pi/2$ sans doute !)
  • Merci pour ta réponse effectivement j'ai réussi a exprimer $\tan(\theta)$ mais j'ai opté pour utiliser la fonction $\arctan$ afin d'exprimer $\theta$ directement mais je ne pense pas que c'est une bonne idée car on peut pas trouver la valeur maximale de $\arctan$ je vais donc essayer la piste que tu viens de proposer
  • Mode sarcasme : l'observateur pourra se mettre aussi loin qu'il le veuille bien, il ne verra pas la base du pied qui touche le socle, sauf si le pied est au bord du socle, auquel cas...
  • Remarque en passant : grâce au théorème de l'angle inscrit, on peut résoudre cet exercice à moindre frais en faisant "gonfler" un cercle passant par A et B.78412
  • La distance optimale de vision est $d=\sqrt{p^2+ps}$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Dom pouvez vous détaillé plus
  • Il me semble qu'on en a déjà parlé.
    On peut effectivement aborder ce problème par les fonctions circulaires, mais il y a aussi une approche géométrique. Si $O$ désigne la position de l'observateur, le cercle circonscrit à $OAB$ doit être le plus petit cercle possible passant par $A$ et $B$ tout en rencontrant la droite d'en bas. Ce cercle doit donc être tangent à cette droite, et la puissance du point de base du socle par rapport à ce cercle donne la formule de Gebrane.
  • En posant $x$ et $y$ respectivement le côté supérieur et le côté au milieu, j’ai avec Pythagore : $y^2=d^2+p^2$ et $x^2=d^2+(p+s)^2$. De plus, en notant $\phi$ le second angle, $tan(\phi)=\frac{p}{d}$ et $tan(\theta+\phi)=\frac{p+s}{d}$.

    D’où $\theta+\phi=\arctan(\frac{p+s}{d})$, soit $\boxed{\theta=\arctan(\frac{p+s}{d})-\arctan(\frac{p}{d})}$.

    Puis $\displaystyle \frac{d\theta}{dd}=-\frac{p+s}{d^2}\frac{1}{1+\left(\tfrac{p+s}{d}\right)^2}+\frac{p}{d^2}\frac{1}{1+\left(\tfrac{p}{d}\right)^2},\ $ car $\dfrac{d\arctan(x)}{dx}=\dfrac{1}{1+x^2}$.
    Enfin, \begin{align*}
    \frac{d\theta}{dd}=0 \ &\Leftrightarrow \frac{p}{d^2+p^2}=\frac{p+s}{d^2+(p+s)^2} \\
    &\Leftrightarrow pd^2+p(p+s)^2=(p+s)(d^2+p^2)\\
    &\Leftrightarrow p(p+s)^2 - (p+s)p^2 = sd^2 \\
    &\Leftrightarrow \frac{p(p+s)}{s}\big((p+s)-p\big)=d^2 \\
    &\Leftrightarrow \boxed{d = \sqrt{p(p+s)}}.
    \end{align*}
  • L'angle maximum est $\arctan(\frac s{2d_{\text{optimal}}})$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Merci pour vos réponses
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