Extrema du determinant

Bonjour , je suis en spé et j'aimerais un petit conseil pour conclure ce probleme.Voici ce que j'ai deja fait:

Soit $n$ un entier strictement positif.
On considère l'application $det$ qui à une matrice réelle $ A$ de taille $n$ associe $det(A)$ .

Le but est d'étudier les extrema éventuels de $det$ .
De maniere simple on obtient que les points critiques se situent au niveau des matrices de rang inférieur ou égal à $n-2$ .
Bien sur le determinant d'une telle matrice étant nul il n'y à pas d'extrémum global(le determinant de l'identité vallant 1 et celui de la meme matrice ou l on remplace simplement un $1$ par un $-1$ est $-1$ )
Mon problème se situe au niveau des extrema locaux.J'ai réussi à montrer que si la dimension du sous espace propre associé à $0$ de mon point critique est impair alors il n'y a pas d'extremum(avec une suite de matrices inversibles de determinant strictement positif ou négatif tendant vers mon point critique).

Mais quand la dimension du sous espace est paire je suis bloqué(la parité "absorbe " mes signes...)

Merci d'avance.Je suppose que comme d'habitude je me lance peut etre dans quelque chose de trop compliqué et qu'il y a plus simple.Merci alors de me signaler juste des "pistes" pour avoir le plaisir de trouver tout seul (ou presque :) ).

Réponses

  • hello
    as-tu calculé la differentielle du det ?
    qui est un classique
    regarde le mneme testard chez hermann
    a+
  • oui c comme ça que je trouve que la differentielle est nulle pour des matrices de rang inferieur à $n-2$ (en ecrivant la formule du determinant developpé par rapport a une ligne ou une colonne).Par contre je ne comprend pas bien la fin de ton post...
  • Bonjour,
    dans la fin de son post dark vador faisait allusion' je pense, à l'ouvrage suivant :

    "Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques "
    de Rached Mneimné et Frédéric Testard

    H.
  • Le déterminant étant multinéaire par rapport aux colonnes de la matrice, il ne peut pas y avoir d'extrema locaux.
  • Tu peux developper un petit peu Archimède s'il te plait :) Merci
  • C'est la remarque d'Archimède qui m'inspire ce qui suit qui d'ailleurs est peut-être faux (ça me paraît un peu simple à vrai dire).\\

    Par multiplicativité du déterminant et par caractérisation connue du rang, on peut se ramener à l'étude en une matrice $A$ diagonale, $A=\text{diag}(1,\dots,1,0,\dots,0)$ (il y a $r$ fois 1 où $r$ est le rang et $n-r$ fois 0). \\

    Ensuite, il y a deux cas. Si $r=n$ alors $\det\text{diag}(1+h,1,\dots,1)-\det(A)=h$ de signe non constant et si $r
  • Pauvre de moi je suis débile!je n' ai pas été capable de mettre un $h^2$ à la place d'un $h$ pour me sortir du cas où la dimension du sous espace propre associé à $0$ est paire.

    Bon ben finalement j'étais sur la bonne voie:) merci Trivecteur,j'avais trigonalisé mais tout cela revient au même :)
  • ps: le cas $r=n$ ne sert pas vraiment puisque il ne peut y avoir d'extremum que pour des matrices dont le rang est inferieur ou égal à $n-2$.Mais ça a l'avantage de pouvoir finir l'exo sans utiliser de differentielle! Joli
  • En fait la multilinéarité ne permet de traiter que le cas $\hbox{det}(A)\not=0$. Pour le cas général la solution de Trivecteur me semble judicieuse !
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