Une conjecture sur les nombres premiers

Bonjour à tous,


Soit P(n) le produit des n premiers nombres premiers autres que 2 ainsi P(1) = 3, P(2)= 3*5, P(3) = 3*5*7 etc...

Cherchons des couples de nombres premiers (p, p') avec p < p' < 2p tels que p' + p = 2P(n).

De manière triviale, on peut écrire que (p' - p) = 2r

Ainsi (p '- p) = 2r et (p' + p) = 2P(n) d'où p' = P(n) + r et p = P(n) - r où r pair et r < P(n)/3 puisque p < p' < 2p

Par construction P(n) est toujours impair quelque soit n et donc r doit toujours être un nombre pair. Pour que p' et p soient premiers, P(n) et r doivent être irréductibles entre eux quelque soit n (rappel ici r < P(n)/3)

Les rk tels que rk= 2k où k est un entier naturel sont tous des solutions possibles car on est toujours sûr que P(n) et 2k avec n >= 1 sont premiers entre eux quelque soit le couple (n, k) et notamment lorsque 2k < P(n)/3.

Ainsi, on cherchera p et p' tels que p' = P(n) + 2k et p = P(n) - 2k avec 2k < P(n)/3 c'est à dire 2(k+1) < P(n) d'où k < [Ln(P(n))/Ln2)] - 1

On remarquera que lorsque n = 1 alors P(n) = 3 dès lors, r doit être pair avec r < P(1)/3 < 1 c'est impossible le cas n = 1 est particulier et doit être exclu du cadre générale.


***On sait que l'existence de p' tel que p < p' < 2p est certaine, de là, on se propose d'énoncer la conjecture qu'il existe toujours au moins une valeur entière de k < Ln(P(n))/Ln(2) - 1 telle que : p = P(n) - 2k et p' = P(n) + 2k soient des nombres premiers quand n > 1***


Applications :

Si n = 1 alors P(n)= 3 d'où p = 3 - 2 et p' = 3 + 2 soit le couple (1, 5) on remarquera que p = 1 n'est pas un premier au sens strict et que la condition p < p' < 2p n'est pas respectée.

Si n = 2 alors P(n) = 15 d'où p = 15 - 2 = 13 et p'= 15 + 2 = 17 mais (11, 19) et (7, 23) sont aussi des couples de premiers solutions seuls (13, 17) et (11, 19) respectent la condition p < p' < 2p

Si n = 3 alors P(n) = 105 d'où les couples solutions (p, p') : (103, 107), (101, 109), (97, 113), (73, 137) tous ces couples respectent la condition p < p' < 2p

Etc...


Emphyrio
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.