La fonction cotan et l'inverse de tan

Nemya

Salut
J'ai trouvé cette remarque dans un cours et j'ignore la différence entre la fonction cotan et 1/tan pouvez-vous m'expliquer la différence entre les deux.

cuvedepr

Salut

[size=large]alors jette ton bouquin[/size]
la fonction cotan c'est l'inverse de la fonction tan raturé car faux (édit)

sous condition du domaine de définition de la fonction cotan i.e. $x\in \mathbb {R}\setminus\{k\pi\mid\forall k\in \mathbb {Z}\}$ alors

là encore j'ai dit une autre connerie(edit)
faux ->
$cotan(x)=\frac {1}{tan(x)}=\frac {1}{\left( \frac {\sin(x)}{\cos(x)} \right) }=\frac {\cos(x)}{\sin(x)}$

il fallait dire

$cotan(x)= \frac {\cos(x)}{\sin(x)}$

GaBuZoMeu

Les corrections que cuvedepr a apportées à son message viennent peut-être du fait qu'il s'est aperçu du problème ?
La fonction tangente est définie sur l'ensemble des réels qui ne sont pas de la forme $\pi/2 + k\pi$ pour $k\in \mathbb Z$, tandis que la fonction cotangente est définie sur l'ensemble des réels qui ne sont pas de la forme $k\pi$ pour $k\in \mathbb Z$.
La fonction $1/\tan$ est définie là où la fonction $\tan$ est définie et non nulle, c.-à-d. sur l'ensemble des réels qui ne sont pas de le forme $k\pi/2$ pour $k\in \mathbb Z$.

cuvedepr

Bonjour GaBuZoMeu
non ma première correction est une parenthèse oubliée sous ma fraction
et ma deuxième correction st que j'avais écrit $\mathbb {R}\setminus\{k\pi|k\in \mathbb {Z}\}$ en oubliant le quantificateur $\forall$ devant $k$

cuvedepr

...du coup je me suis encore planté

GaBuZoMeu

Oui, le quantificateur universel à cet endroit est une faute de syntaxe.

cuvedepr

non mais quand je dis que je me suis planté c'est quand je prétend que cotan=1/tan


quelle connerie ….

je vais me surveiller en mode "search and destroy my bullshit" -> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1681162,1683804#msg-1683804

gebrane

@cuvedepr
Une question amusante. Soit $f:x\mapsto x$ et $g:x\mapsto \frac 1x$
Ne peux-ton pas dire que $f=\frac 1 g$ sur $\overline {\mathbb{R}}$ ?

cuvedepr

Gebrane laisse tomber, j'ai prouvé mon incompétence à maintes reprises

désormais je ne dirai plus rien...c'est bon ...

mais bon une dernière fois et puisque tu y tiens

la droite achevée?

dans la droite achevée démunie du zéro le produit n'est pas un groupe

sinon à part ça Df de g est $\mathbb {R}-\{0\}$

Df de f est $\mathbb {R}$

je vois mal comment ça va le faire cette égalité

gebrane

Dans $\overline{\R}$ . Notons $F=1/g$
On a
$f(+\infty)=+\infty$ et $F(+\infty)=\frac 1{0^+}=+\infty$
$f(-\infty)=-\infty$ et $F(-\infty)=\frac 1{0^-}=-\infty$
$f(x)=F(x)$ si $x\neq 0$
$f(0)=0$ et $F(0)=\frac 1{\infty}=0$
donc $f=F $ sur $\bar \R$ qu'en penses-tu :-D?
J'aime bien cette citation il vaut mieux ne rien dire et passer pour un C que de l'ouvrir et ne laisser aucun doute à ce sujet.

cuvedepr

tu me demande ce que j'en pense?

moi j'en pense qu'écrire $1/0^+$ que ce soit dans $\mathbb {R}$ ou dans la droite achevée $\overline {\mathbb {R}}$ ça n'est pas autorisé

mais ce que je pense ne compte pas et comme je te l'ai dit je ne suis pas compétent et je regrette avoir posté ce matin(c'est trop tard certes)

GaBuZoMeu

@cuvedepr : tu en fais un peu trop. Tu t'es trompé (sur le sujet un peu glissant des "domaines de définition"), d'accord, mais il n'y a pas de quoi en faire tout un plat. Ça arrive à tout le monde de se tromper, par exemple à moi, et à Gebrane. Par exemple, dans ce fil, il pourra "s'amuser" à dire ce que vaut $g(0)$ : $+\infty$ ou $-\infty$ ? S'il veut une fonction $x\mapsto 1/x$ correcte, il a plutôt intérêt à travailler sur la droite projective réelle $\mathbb R\cup \{\infty\}$. Bon, je sens qu'il va noyer le poisson. ;-)

gebrane

Effacé pour ne pas polluer
[size=x-small]Je ne pose de question dans un même fil que lorsque l'auteur a eu sa réponse.[/size]

GaBuZoMeu

gebrane écrivait:

---

> Je vais donner le lien ( si je le retrouve ) d'une discussion où un intervenant à démontrer que dans $\bar R,$ $\frac 1{\frac 1{+\infty}}=+\infty$

Vraiment n'importe quoi. Enfin, donne le lien qu'on rigole un peu.

PS. Il vaudrait mieux le donner ailleurs plutôt que de continuer à polluer le fil de Nemya.

Lengoda

Dans $\mathbb{C} \cup \{\infty\},~ z \mapsto \frac{1}{tan(z)}$ et $z \mapsto cotan(z)$ sont définies partout, et valent $\infty$ en $0$.

$\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ est un cercle et $+\infty$ et $-\infty$ désignent le même point.

GaBuZoMeu

Et avec le fait que $cot(\pi/4+k\pi)=1$ tandis que $cot(\pi/2+k\pi)=0$ pour $k\in \Z$, ça ne te trouble pas de déclarer que $\cot$ est défini partout sur $\C\cup\{\infty\}$ ? C'est quoi sa valeur en $\infty$ ?
Par ailleurs $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas le même point dans la droite achevée.

ev

Lengoda écrivait:

---

> $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ est un cercle...

Mmh. Quel est son centre ?

e.v.

GaBuZoMeu

Voyons, ev, comme c'est un grand cercle de la sphère de Riemann, son centre est le centre de la sphère de Riemann. Tu devrais savoir ça !

ev

Oh la la! Je sens qu'il va falloir que je creuse.

e.v.