Propriété sur les segments

Playa

Bonjour,

Soit $[a,b]:=\{a+\lambda (b-a) \mid \lambda \in [0, 1]\}$ un segment de $\mathbb{R}^n$ recouvert par $m$ boules (euclidiennes) fermées $(\bar{B}(x_j, r_j))_{j=1, \ldots, m}$ où $x_j \in [a,b]$.

Comment justifier rigoureusement qu'il existe $0=\lambda_0<\lambda_1<\cdots<\lambda_p<\lambda_{p+1}=1$ vérifiants : $$\forall i \in \{0, \ldots, p\}, \ \exists j \in [1, m] , \quad [a+\lambda_i (b-a), a+\lambda_{i+1}(b-a)] \subset \bar{B}(x_j, r_j)
$$ Pour $m=2$ et $m=3$, j'arrive à m'en convaincre par des petits schémas. Mais pour la démonstration dans le cas général, je m'embrouille.
Merci beaucoup.

Algèbre

Salut, cela me fait penser au lemme de Lebesgue : regarde ici le lemme 4.8.7 : http://denis.monasse.free.fr/livre-html/coursse25.html#x32-1580004.8, c'est du même ordre d'idée.

Poirot

Ne suffit-il pas de montrer que l'intersection d'un segment et d'une boule fermée est un segment ? Ce qui est évident par convexité.

Playa

@Algèbre : Merci. Il me semble qu'avec le lemme 4.8.7 (Lebesgue), on pourra considérer les $r_j$ égaux.

@Poirot : Merci. En effet, l'intersection d'un segment avec une boule fermé est un segment. C'est un fermé borné convexe dans la droite qui prolonge le segment.
Par contre, je n'arrive pas à voir commencer ça pourrait aider dans la question. Pourriez-vous me détailler un peu. Merci.

[Henri Lebesgue (1875-1941) mérite le respect de son patronyme (pas de 's' final). AD]

gerard0

Place-toi sur la droite qui contient le segment, tu peux même prendre a et b comme base d'un repérage de la droite (A d'abscisse 0, b d'abscisse 1).

Cordialement.

Algèbre

C'est vrai Poirot, mais bon ça peut peut être lui servir c'est un "argument général":-D.

Playa

@gerard0 : Merci. Ci-après, j'essayerai de développer votre indication.

Pour simplifier (possible par le lemme de Lebesgue, Merci à Algèbre), prenons $r_i$ tous égaux à $\rho$.

Soit $\gamma_j$ tel que : $a+\gamma_j (b-a)=x_j$ ($x_j$ défini au 1er poste)
Je pense que : pour $\lambda_0=0$, $\lambda_j=\gamma_{j}+\frac{\rho}{\|b-a\|}$ et $\lambda_{m+1}=1$, on a le résultat car les $r_i$ sont maintenant égaux.

Il me reste à justifier que $\gamma_{j+1}-\frac{\rho}{\|b-a\|} \leq \gamma_{j}+\frac{\rho}{\|b-a\|}$.
Je crois que c'est vrais. Avez une idée? Merci.

TomasV

Je crois que c'est plus simple .
L'intersection de chaque Bj avec [a,b] définit un intervalle que je note [Bjinf,Bjsup] (s'il y a des Bj tangents je les jette) .
Cela définit une suite strictement ordonnée que je note {a,a1,a2 ..., ap, b} .

Soit un intervalle [a(i),a(i+1)]
Par définition il existe un j t.q a(i)=Bjinf (si c'était Bjsup, le raisonnement est similaire))
Si a(i+1) = Bjsup alors [a(i),a(i+1)] est inclus dans Bj
Si a(i+1) =/= Bjsup alors Bjsup > a(i+1) et [a(i),a(i+1)] est inclus dans Bj

(Les a(i) donnent les lambda(i) qui sont également strictement ordonnés)

Playa

@TomasV : Merci.
Une question : Comment tu traites le cas $a(i)=Bjsup$ ?
Parce que moi j'ai du mal.

TomasV

Ben si a(i) =Bjsup alors a(i+1) ne peut pas être Bkinf puisque dans ce cas [a(i),a(i+1)] ne serait pas couvert .
Donc a(i+1) = Bksup et comme Bkinf <= a(i) tu as [a(i),a(i+1)] dans Bk

Finalement tout pourrait se résumer en disant : "Par définition des a(i) il est évident que tout [a(i),a(i+1)] est inclus dans un [Bjinf,Bjsup] donc dans une Bj ."

Playa

Merci ThomasV.
Au passage, j'ai pu prouver que $\gamma_{j+1}-\frac{\rho}{\|b-a\|} \leq \gamma_{j}+\frac{\rho}{\|b-a\|}$.

TomasV

Ben ce que tu as fait est de traiter un cas particulier avec un recouvrement qui ne correspond pas à l'énoncé (centres sur [a,b] et rayons identiques) donc il faudrait le généraliser au cas de l'énoncé (centres quelconques , rayons quelconques) .

Si tu voulais juste remplacer le recouvrement de l'énoncé par un recouvrement identique mais avec des boules B'j dont les centres sont sur [a,b] alors dans ce cas les rayons des B'j ne seront pas identiques et le problème n'est pas plus simple .


En principe on évite de se compliquer la vie avec des cas particuliers quand la solution générale tient en 2 lignes .

Bonne chance .

Playa

@TomasV : Tu as raison, ta méthode résout la question générale. Merci encore une fois.
En fait, je me suis rendu compte (après avoir posé l'énoncé) que le cas particulier où les rayons sont égaux me suffisait.