Base additive d'ordre 3

Bonjour,

Comme chacun sait, tout entier naturel est la somme de trois nombres triangulaires. La démonstration classique s'appuie sur le théorème des trois carrés. Rien d'élémentaire, donc.

Mes ambitions sont plus modestes : je cherche simplement à construire une suite d'entiers naturels $(x_n)_{n\geqslant0}$ telle que :

$\bullet$ $(x_{n+1}-x_n)$ est croissante et non stationnaire, et

$\bullet$ pour tout $N\in\N$, il existe $p, q$ et $r$ dans $\N$ tels que $N=x_p+x_q+x_r$.

Quelqu'un voit-il un moyen (très ?) simple de construire une telle suite ?

Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

  • $x_0 = x_1 = 0$, $x_2=1$ et $x_k = 2(k-2)$ pour $k \geq 3$?
    Bref : $;0;0;1$ et tous les entiers pairs.

    Pierre.
  • Hum, la suite de tes $x_{n+1}-x_n$ n'est-elle pas légèrement stationnaire ?
  • Oui, désolé de ne pas avoir lu correctement...

    Bon, si on prend $0,0,0,1$ puis tous les multiples de $2$ et tous les multiples de $3$, ordonnés dans l'ordre croissant sans répétition, ça marche puisque tout entier $n \geq 0$ peut s'écrire $n =(2p)+(3q) + 0$ avec $p,q \geq 0$.
    Et que les écarts entre les termes successifs de la suite sont périodiques $1,1,2$ après quelques termes.

    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises cette fois...

    Pierre.
  • Je voudrais que $(x_{n+1}-x_n)$ soit croissante...
  • Salut.

    Et $x_0 = 0\;\textrm{et}\;x_{n+1} = x_n + n+1$
  • @babsgueye : les termes de ta suite $(x_n)$ sont justement les nombres triangulaires (relis mon préambule). Donc elle fonctionne bien, mais vois-tu un moyen simple (sans recourir au théorème des trois carrés) de le prouver ?
  • Ah Ok, j'avais pas fait gaffe.

    Merci
  • Après avoir fait quelques recherches, je crois qu'on peut montrer, en restant dans un cadre élémentaire, que si $c$ est un réel dans $\left]1;\frac32\right[$, alors la suite $(\lfloor n^c\rfloor)_{n\geqslant0}$ est une base additive asymptotique d'ordre 3, ce qui répond à la question initiale en bricolant un peu.

    En fait dans cet article, il est même prouvé que la suite $(\lfloor n^c\rfloor)_{n\geqslant0}$ est un base additive asymptotique d'ordre $2$ mais la preuve utilise des sommes trigonométriques, bref c'est trop compliqué pour moi (voir aussi cet article en français pour le cas $c\in\left]1;\frac43\right[$ ). Mais grâce au début de la preuve (ou plutôt à ce que j'en ai compris), il me semble qu'on peut prouver que tout entier naturel peut s'écrire sous la forme $\lfloor p^c\rfloor+\lfloor q^c\rfloor+\lfloor r^c\rfloor$ avec $(p,q,r)\in\N\times\N\times\{0;1;2\}$.

    /!\ Edit : je viens de retrouver ce fil que j'avais initié il y a trois ans... Je n'en avais aucun souvenir :-(! Dans cet article, le théorème 6 page 11 permet de construire une base additive d'ordre 2 $(u_n)$ telle que $(u_{n+1}-u_n)$ est croissante et non stationnaire (tout est "élémentaire").
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