Famille sommable

Mrocdemorgat

Bonjour.

L'exercice suivant me pose problème. J'arrive sans problème à montrer le lemme avec une comparaison par une intégrale, mais je ne vois pas comment en déduire la sommabilité de la famille. Merci d'avance pour vos indications.


Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites positives telles que les séries de termes généraux $a_n^2$ et $b_n^2$ convergent.

Montrer que la famille $(\dfrac{a_nb_p}{n+p})_{n\geq1, p\geq 1}$ est sommable.

On pourra commencer par montrer le lemme: $\displaystyle{\sum_{k=1}^n{\dfrac{1}{(m+k)\sqrt{k}}}}\leq \dfrac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tous $m\geq 1$ et $n\geq 1$.

Mroc

Balix

A première vue, je dirais que le terme général de la famille à sommer ressemble au terme général du produit de 2 séries, et les hypothèses de l'énoncé me font penser à une utilisation de l'inégalité de Cauchy Schwartz. A voir, si en formalisant ceci, la formule du lemme n'apparaitrait pas.

Mrocdemorgat

J'ai bien pensé à Cauchy-Schwarz, mais sans succès jusqu'à maintenant.