Serre : Corps locaux, aide

Bonjour à tous,

Je lis Corps Locaux de Serre, et j'éprouve quelques difficultés à comprendre la "démonstration" (très vite expédiée) page 22, Proposition 5 : dans un anneau de Dedekind tout idéal fractionnaire non nul est inversible.

La démo est la suivante :

Dans un anneau de valuation discrète, un idéal fractionnaire est de la forme $\pi^nA$, où $n \in \mathbb{Z} $, et est donc inversible. La proposition en résulte par localisation, compte tenu de :

$(\frak{ab})_{\frak{p}} = \frak{a_pb_p}$
$( \frak{a} + \frak{b})_\frak{p} = \frak{a}_{\frak{p}} + \frak{b}_{\frak{p}}$
$(\frak{a} : \frak{b})_{\frak{p}} = ( \frak{a}_{\frak{p}} : \frak{b}_{\frak{p}} )$

si $\frak{b} $ est de type fini.

Je comprends donc entre les lignes qu'il faut utiliser la proposition précédente, toujours sur la même page qui dit que si $A$ est un Dedekind, alors pour tout idéal premier $\frak{p}$ non nul, $A_\frak{p}$ est un anneau de valuation discrète. Mais même en m'aidant d'autres démonstrations plus détaillées, comme celle dans Théorie algébrique des nombres de Samuel, je n'arrive pas à démontré proprement cela, c'est-à-dire rédiger proprement le " la proposition en résulte par localisation ".
Tout ça reste flou et un peu d'aide pour démarrer cette démo serait bienvenue.

Merci d'avance

Réponses

  • Peut-être que la démonstration dans le lien suivant peut t’aider (Proposition 2.3.13) : Lien.
  • @johnsmoke
    Soit $I$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. PROPOSE d'abord un CANDIDAT pour l'inverse de $I$. Après, cela ira tout seul. Promis, juré.
  • Hello,

    Je suppose que le candidat c'est $(A : I) := \{ z \in \text{Frac}(A) \mid z I \subset A \}$.
  • @moduloP
    Oui bien sûr. Note : je me méfie de la notation $(A : I)$ car ici, ``cela'' sort de l'anneau $A$. Bref, notons $I'$ ce candidat (c'est un idéal fractionnaire) ; il reste à voir que $II' = A$. Et en principe, il suffit d'utiliser les propriétés locales à notre disposition pour le voir. A vrai dire, je n'ai pas réfléchi plus que cela. De toutes façons, l'intéressé n'est plus là (il a dû terminer la lecture de Corps Locaux ?).
  • Coucou Claude,

    Oui c'est efficace, ça va tout seul comme tu dis !
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