Base orthogonale de $\mathbb{R}_n[X]$

Bonjour,

Dans le cadre d'un travail sur les nombres de Bell je suis amené à construire un produit scalaire sur $\mathbb{R}_n[X]$ pour lequel là base $(\gamma_k)_{0 \leq k \leq n}$ avec $
\gamma_k = \prod_{i = 0}^{k-1}(X-i)
$ est orthogonale. Comment faire ?

Réponses

  • Si tu as n'importe quelle base de n'importe quel espace vectoriel réel de dimension finie, tu as un unique produit scalaire sur cet espace pour lequel la base est orthonormale : tout simplement, si $(x_1,\ldots,x_n)$ est le système de coordonnées du vecteur $v$ dans cette base, le carré de la norme de $v$ pour ce produit scalaire est $x_1^2+\cdots+x_n^2$.
  • D'accord je ne connaissais pas ce résultat c'est bon à savoir. Mais en réalité ce que je cherche à faire c'est de déterminer les coordonnées de $X^n$ dans la dite base du coup cela ne va malheureusement pas m'aider ici.

    En fait pour avoir un peu de contexte :en partant de $B_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}$ j'aimerai simplifier un peu plus le résultat obtenu, pour ça je prévoyais de décomposé $X^n$ sur $\mathcal{B} :=(\gamma_k)_{0 \leq k \leq n}$ afin de pouvoir écrire $X^n = \sum_{k=0}^{n} \lambda_k \gamma_k$ et ainsi reconnaître un développement en série entière de $exp$ on aurait alors $B_n = \sum_{k=0}^{n} \lambda_k$ et si la base $\mathcal{B}$ est orthogonale/normale pour un produit scalaire "sympa" on peut déterminer "facilement" les $(\lambda_k)_{0 \leq k \leq n}$ mais peut-être n'est-ce pas la meilleure façon de raisonner ?
  • Si ton but est d'exprimer $X^n$ dans ta base $\gamma_k$, il te suffit d'exprimer les $\gamma_k$ dans la base canonique des $\mathbb R_n[X]$, puis d'inverser la matrice de passage !
  • Oui ça doit marcher, mais la matrice à inverser risque d'être montrueuse non ?
  • Heu, tu demandes aux $\gamma_k$ d'etre une base orthonormale ou seulement, comme tu l'as ecrit, orthogonale? Parce que dans le second cas; le produit scalaire n'est pas completement defini- ca peut etre un avantage.
  • orthogonale ou orthonormale, peu importe tant qu'on arrive à avoir une expression des coordonnées de $X^n$ dans cette base !
  • si tu ecris
    $$P(X)=c_0(P)+Xc_1(P)+X(X-1)c_2(P)+\cdots$$ tu vois que $c_0(P)=P(0)$, $c_n(P)=P(n)-P(n-1)$ pour $n\geq 1.$ Si $P(X)=X^d$ avec $d>0$ alors
    $$c_n(P)=n^d-(n-1)^d.$$ Le produit scalaire avec les $\gamma_k$ orthonormaux est $$\langle P,Q\rangle=P(0)Q(0)+\sum_{n\geq 1}(P(n)-P(n-1))(Q(n)-Q(n-1)).$$
  • La formule donnée par P. est fausse (je l'invite à examiner soigneusement ses justifications).

    Classiquement $X^n=\sum_{k=0}^n B_{n,k} \gamma_k$, où $B_{n,k}$ désigne le nombre de partitions d'un ensemble à $n$ éléments en $k$ sous-ensembles non vides. Pour montrer cette formule, le plus efficace me semble être de montrer que les fonctions polynomiales associées coïncident en chaque entier naturel, et ce par un argument de dénombrement.
  • Merci dSP.

    $P(n)$ n'est pas $c_0+\cdots+c_n$ comme je l'ai cru bravement à partir de $n=1\ldots$ Les $B_{nk}$ sont en effet les nombres de Stirling de seconde espèce. reliés aux nombres de Bell qui intéressent l'auteur du fil. Voir Stanley, Enumerative combinatorics volume 1 page 34.
  • Oui je me disais bien que je n'arrivais pas à retomber sur le même résultat que P, je vais aller lire les références que vous proposez ! j'imagine donc que si ces nombres ont un nom c'est que je ne risque pas de trouver de simplification satisfaisante, tant pis ! merci pour votre aide
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