Nom d'un point

Bonjour,

quelqu'un peut-il m'aider à trouver le nom du point $Z$ dans la figure ci-jointe ?

$ABC$ est un triangle, $A',B',C'$ sont les milieux des côtés, $D,E,F$ sont les milieux des arcs et $I$ le centre du cercle inscrit. On note $M,N,P$ les symétriques de $I$ par rapport à $A',B',C'$ respectivement. Alors $(DM), (EN), (FP)$ sont concourants en un point $Z$ du cercle circonscrit.77546

Réponses

  • Bonjour ,
    ce point est sur la droite reliant le point de Feuerbach au centre de gravité du triangle .
    Cordialement
  • Le point Z est aussi sur la droite reliant le point de Nagel (X8) au centre du cercle circonscrit ainsi que sur la droite reliant le point de Spieker (X10) au point de Schieffler (X21)
  • Je pense que c'est le point X(100) ANTICOMPLEMENT OF FEUERBACH POINT
  • Je pense qu'il s'appelle Z ... ;-)
  • Des points de fm_31 dans cette playlist

    Des compléments ici
    http://rdassonval.free.fr/geogebra/index.html
    La bible ici
    http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
  • Merci pour vos réponses. Avant que Rescassol ne dégaine : si $ABC$ est inscrit dans le cercle unité, il existe des nombres complexes $a,b,c$ de module $1$ tels que $A,B,C,D,I$ soient d'affixes respectives $a^2,b^2,c^2,-bc,-bc-ca-ab$. L'affixe de $Z$ est alors
    $$z=\frac{abc(a+b+c)}{ab+bc+ca}.$$
  • Bonjour,

    Je dégaine avec Morley inscrit, mais il me fallait le temps de faire les calculs.
    Je confirme que le point $Z$ est bien $X_{100}(x_{100})$ avec $x_{100}=\dfrac{2s_3(s_1^2 + s_2)}{s_1(s_1s_2 - s_3)}$.
    Comme l'a indiqué fm_31, il est bien aligné avec $O(o)$ (centre du cercle circonscrit) et $X_8(x_8)$ (point de Nagel) avec $o=\dfrac{2s_1s_3}{s_1s_2-s_3}$ et $x_8=\dfrac{2(s_2^2+s_1s_3)}{s_1s_2-s_3}$ d'une part, et avec $X_{10}(x_{10})$ (point de Spieker) et $X_{21}(x_{21})$ (point de Schiffler) avec $x_{10}=\dfrac{s_2^2+s_1s_3}{s_1s_2-s_3}$ et $x_{21}=\dfrac{2s_3(s_1^2s_2-2s_1s_3-s_2^2)}{(s_1s_2-s_3)(s_1s_2-4s_3)}$ d'autre part.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour,

    J'oubliais:
    Le centre de gravité $G(g)$ est donné par $g=\dfrac{2(s_2^2+s_1s_3)}{3(s_1s_2-s_3)}$ et le point de Feuerbach $X_{11}(x_{11})$ par $x_{11}=\dfrac{s_2}{s_1}$. Ces deux points sont effectivement alignés avec $X_{100}$ comme indiqué par fm_31.

    Je joins une figure.

    Cordialement,

    Rescassol77554
  • Bonjour
    Une tentative de généralisation (qui ne devrait pas poser de problème aux duettistes Rescassol et Morley).

    Etant donné un point $Q$ d'isogonal $Q^{\ast }$ (par rapport à $ABC$),
    $M,N,P$ sont les symétriques de $Q$ par rapport aux milieux de $\left[ BC\right] ,\left[ CA\right] ,\left[ AB\right] $ (ce sont aussi les symétriques de $A,B,C$ par rapport au complément de $Q$)
    $D,E,F$ sont les points où les droites $AQ^{\ast },BQ^{\ast },CQ^{\ast }$ recoupent le cercle circonscrit $\left( O\right) $
    Alors les droites $DM,EN,FP$ concourent en $\Omega \in \left( O\right) $.
    $\Omega $ est l'anticomplément du centre $\omega $ de l'hyperbole équilatère passant par $A,B,C,Q$; c'est aussi le point diamétralement opposé sur $\left( O\right) $ au quatrième point d'intersection du cercle $\left( O\right) $ et de l'hyperbole.

    Dans le cas $Q=I$, on a aussi $Q^{\ast }=I$ et $\omega $ est le point de Feuerbach de $ABC$

    Amicalement. Poulbot

    PS (rappel) : complément $=$ image par l'homothétie $\left( G,-\dfrac{1}{2}\right) $, anticomplément $=$ image par l'homothétie $\left( G,-2\right) $77560
  • Bonjour,

    Morley circonscrit trouve $\Omega=\dfrac{q^2 - s_1q - \overline{q}s_3 + s_2}{s_3\overline{q}^2 - s_2\overline{q} - q + s_1}$ qui vérifie bien $\Omega\overline{\Omega}=1$.

    La suite à plus tard.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour Poulbot,

    L'hyperbole a pour équation:
    $(- s_3\overline{q}^2 + s_2\overline{q} + q - s_1)z^2 + s_3(q^2 - s_1q + s_2 - \overline{q}s_3)\overline{z}^2$
    $+(- q^2 + s_3\overline{q}^2s_1 - s_2\overline{q}s_1 + s_3\overline{q} + s_1^2 - s_2)z + (- q^2s_2 + s_1qs_2 - qs_3 + \overline{q}^2s_3^2 - s_2^2 + s_1s_3)\overline{z}$
    $+(q^2s_1 - qs_1^2 + qs_2 - s_3\overline{q}^2s_2 - s_3\overline{q}s_1 + \overline{q}s_2^2) = 0$

    Elle recoupe le cercle circonscrit en $q'=-\dfrac{q^2 - s_1q + s_2 - \overline{q}s_3}{s_3\overline{q}^2 - s_2\overline{q} - q + s_1}$
    et son centre est $\omega=\dfrac{q^2 - s_1s_3\overline{q}^2 + (s_1s_2-s_3)\overline{q} - s_1^2 + s_2}{2(- s_3\overline{q}^2 + s_2\overline{q} + q - s_1)}$

    On a bien les propriétés que tu annonces.

    Cordialement,

    Rescassol77614
  • Bonjour Rescassol
    et merci pour ta vérification.
    Amicalement. Poulbot
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