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Retours d'oraux agreg externe

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Réponses

  • Modifié (June 2023)
    Hautain et déplacé je ne sais pas.
    C'est en tout cas une preuve de lucidité de dire que les présentations de plans sont très souvent décevantes : une bête présentation linéaire des résultats/définitions du plan sans aucune mise en perspective. Deuxième preuve de lucidité : remarquer le niveau des questions tourne très souvent plusieurs degrés en dessous du niveau du plan. Sur ce second points il faut évidemment être indulgent avec les candidats. J'ai personnellement vu des candidats aux oraux (donc admissibles) ne pas savoir multiplier deux matrices, dériver un polynôme, calculer les racines d'un polynôme de degré 2 etc. Entre le stress, la fatigue (3h de préparation c'est long), la chaleur, le format inhabituel de l'oral etc. c'est assez naturel d'être parfois à la ramasse. Je ne doute pas que ces mêmes personnes, dans une autre situation sauraient faire tous ces calculs sans difficultés majeures. Sinon c'est que les écrits ne filtrent pas correctement les admissibles, et je n'ai pas l'impression que ce soit le cas.

    Mais je n'ai pas l'impression que purplejay en tire réellement des généralisations hâtives. Pour avoir assisté à quelques oraux les très bons candidats sont rares. Mais même en ayant assisté à une très bonne prestation cela ne remet pas en cause les constatations de purplejay. Ou alors je les ai mal comprises.

    Pour en revenir aux retours sur les oraux, serait-il possible de préciser certains des exercices que tu rapportes @PurpleJay ? Notamment :
    ALGEBRE
    - demo somme indicatrice Euler (?? Je ne sais pas de quel exercice il s'agit)
    -Applications décomposition polaire en topologie (quelle était la réponse ?)
    - les nilpotents de Z/nZ (?? Je ne sais pas de quel exercice il s'agit)

    ANALYSE 
    - espérance E[X/Y]<=1 si X et Y indépendante (?? faux par manque d'hypothèse).
  • J'imagine que "demo somme indicatrice Euler" = $\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n$ et que les nilpotents de Z/nZ sont les classes des $k\in [[0,n-1]]$ tels que tout nombre premier divisant $n$ divise aussi $k$. Pour le reste je ne comprends pas de quoi il s'agit.
  • En application de la décomposition polaire en topologie, je vois par ex GLn+(R) et GLn-(R) sont connexes (par connexité de SOn(R) et de On-(R)), ou l'étude du groupe O(p,q) (voir lien ici : https://agreg-maths.fr/developpements/227)

    Il me semble que les nilpotents de Z/nZ sont les éléments de k de Z/nZ tels que k^m = 0 (avec m entier) ; on décompose n en facteurs premiers et les éléments nilpotents sont liés aux nombres premiers d'exposant supérieur ou égal à 2 dans la décomposition de n (si l'anneau est réduit, il n'existe aucun élément nilpotent - tout anneau intègre est réduit, mais la réciproque est fausse par ex Z/6Z) 
  • Oui c’est ça pour les exos merci Etienne91 et JLT

    pour E(X/Y)<=1 si X et Y indépendantes il fallait démontrer que c’est vrai. Le candidat n’a pas réussi. (J’oublie peut être une hypothèse)
  • Soient $X$ et $Y$ indépendantes telles que $E(X/Y)>0$. Alors pour $t>0$ assez grand, $E(tX/Y)>1$ et pourtant $tX$ et $Y$ sont indépendantes.
  • @PurpleJay Boileau écrivait : Le droit de siffler s'achète à l'entrée.
    Toi, t'as pas éclairé pour mater les oraux. Tu sais ce qu'il te reste à faire.
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Que l'on ait toujours $\displaystyle E(Y/X)\leqslant1$ en cas d'indépendance : cela métonnerait fort, même pour des v.a. $>0$, car on aurait alors aussi $\displaystyle E(X/Y)\leqslant1$, bien que $\displaystyle X/Y+Y/X\geqslant2$ avec égalité ssi $X(\omega)=Y(\omega)$.
  • Topologie et décomposition polaire ? Je vois deux ou trois interactions envisageables : 
    1) (topo vers algèbre) On l'établit facilement pour un endomorphisme inversible puis l'on conclut par un  argument de densité.
    2) (algèbre vers topo)  ${\rm O}_n(\R)$ est un sous-groupe compact maximal de ${\rm GL}_n(\R)$, ou énoncé dans un espace euclidien, ou variante hermitienne.
    3) Enveloppe convexe de ${\rm O}_n(\R)$.
  • MrJMrJ
    Modifié (June 2023)
    Il est aussi possible de montrer que $O(p,q)$ est homéomorphe à $\R^{pq}\times O(p)\times O(q)$ pour une forme quadratique non dégénérée de signature $(p,q)$.
  • Pour les variables aléatoires, je pense que l’énoncé devait être : soient $X$ et $Y$ indépendantes, de même loi et strictement positives. Montrer que $E(X/Y) \geq 1$.
  • C’est un exercice amusant variante de imaginez un énoncé, proposez une réponse et corrigez-là

     :) 


  • MrJ : oui, que l'on ait proposé ton énoncé (quant à l'espérance) me semble plus que plausible, ne serait-ce que du fait que $X/Y$ et $Y/X$ sont de même loi et de somme $\geqslant2$
  • J'ai assisté à un oral de modélisation option C. Le thème était l'étude de certains codes correcteurs d'erreur (détection d'erreur uniquement). Sur $\mathbb{F}_{p^n}$, étant donné une permutation $f$, la clé de contrôle $a_n$ du mot $a_1, ..., a_{n-1}$ est telle que (notation multiplicative pour $\circ$), $f(a_1)+f^2(a_2)+...+f^n(a_n)=0$. Il est possible de trouver au moins un polynôme tel que $\forall u \in \mathbb{F}_{p^n}, f(u)=P(u)$. Plus $p^n$ est grand, plus il est improbable de trouver $P$ par hasard. J'ai eu l'impression que la candidate s'est plutôt bien débrouillée. Des questions de coût algorithmique, des précisions sur des preuves, une illustration Sage.
  • Voici mes couplages : 
    Exemples de décomposition de matrices / Dénombrement
    Suites Numériques / Bases de Hilbert.
    Textes sur un cryptosysteme ou une suite aléatoire avec des corps finis.
    J'ai ensuite eu des questions en rapport avec le niveau de ce que je présentais (pas très haut😅). Le jury cherche vraiment à obtenir le plus de réponse possible et à mettre à l'aise les candidats. C'est très appréciable.

    Je comprends le message de PurpleJay. Pour avoir été un candidat qui n'a pas fait grand-chose (vraiment pas grand-chose) l'année dernière, franchement, c'était ridicule à voir.  Le dire n'est pas forcément méchant ou déplacé. Personnellement, ça m'a motivé pour faire mieux (enfin j'espère).

    Je souhaite bon courage aux candidats qui doivent passer dans les jours à venir ! Ne lâchez rien. Bonnes vacances bien méritées à celles et ceux qui ont terminé.
  • Merci à tous pour le comblage de trous !
  • Bonjour à tous, personne cette semaine n'a été voir d'oraux ? 
  • Modifié (July 2023)
    Je reviens des oraux.

    j'y suis allé en touriste (pour éviter de corriger le brevet et visiter Strasbourg :) ).
    Je n'avais aucun plan ni aucun développement, ça c'est relativement mal passé, mais ce n'est pas une mauvaise expérience le jury s'adapte à ton niveau.

    J'ai eu 7 et 8 aux oraux de l'interne (ou je suis aussi allé sans plan ni dev, en 3h de préparation tu peux improviser un développement pas deux...) je pense avoir entre 3 et 6 à ceux de l'externe.

    Je suis tombé sur déterminants (en développement j'ai calculé le déterminant d'une matrice de Vandermonde... ça m'a pris 4-5 minutes) question : ils m'ont d'abords torturé sur mon hypothèse de récurrence mal énoncée j'ai souffert... Puis montrer que Rn[X] et R^n sont isomorphe, montrer que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert, montrer que l'ensemble des matrice inversible est dense dans l'ensemble des matrice (j'ai juste baragouiné à propos de il faut chercher une suite et montrer qu'elle converge dans l'ensemble des matrices inversibles mais je ne sais toujours pas faire l'exercice...

    Illustration de la notion d'indépendance (j'ai retrouvé la loi de Poisson de deux variables qui suivent une loi de Poisson ça m'a aussi pris 5 minutes) ensuite des question sur les fonctions génératrice, les séries entières, la définition d'une proba, pourquoi la loi de Poisson est bien une proba, et un exos : j'ai un dé pipé (qui suit une loi X ) et un un dé normal (qui suit une loi Y uniforme) comment à partir de là refaire une expérience qui suit une loi uniforme. (il fallait considéré X+Y mod(7)...)

    Modélisation : codes correcteurs, je n'ai quasiment rien compris au texte... j'ai fait 3 programmes dont un qui fonctionnait, le jury m'a permis de corriger les deux autres. J'ai l'équivalent de 5-6 heures de Python dans ma vie j'ai fait des erreurs de syntaxe et oublié d'aller jusqu'à n+1 dans les boucles "for"

    Pour les écrits ça fait deux ans que je teste les DS d'un ami prof en math sup donc 6 DS par an de niveau Bac+1 j'ai eu 11 et 11 à l'interne, aucune idée de mes résultats à l'externe je suis incapable de juger ma note

    je suis aussi allé voir des oraux avant, un élève en modélisation ultra à l'aise, j'imagine normalien, tout fonctionnait parfaitement.

    Un oral d'algèbre ou un candidat' (que j'imagine meilleur que moi en math) n'a rien fait il s'est arrêter au milieu d'un développement sur le commutant et bicommutant et n'a répondu quasiment à rien ensuite.

    Un oral d'analyse sur les espaces connexes qui avait l'air bon mais je ne suis pas capable de juger...

    résultats : 7.25; 4 et 2.5 je pensais avoir à peu près fait le même niveau de prestation (je ne sais pas a quel oral ça correspond  partout... 6.5 et 7 aux écrits. 
    Oral sur option choisie-Option C : Algèbre et Calcul F 7.25/20 
    Oral 2-Option C : Algèbre et Calcul F 4.00/20 
    Oral 3-Option C : Algèbre et Calcul F 2.50/20 
  • En analyse il y a eu un couplage : Fourier/transformée de Fourier !
  • Le premier Fourier ce sont les series ?
  • oui series de Fourier... Des candidats m'ont expliqué que ce n'était "pas du tout les même leçons" mais bon je trouve ça vache quand même. Par exemple je n'ai jamais vu deux tirages de proba ensembles.
  • Non c’est vrai que cela n’a rien à voir
  • ... Puis montrer que Rn[X] et R^n sont isomorphe,
    Pas simple...
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • DomDom
    Modifié (July 2023)
    Hum… les séries et les intégrales n’ont pas complètement rien à voir. 

    Pour l'isomorphisme : d’ensemble ? Ok. 
    Mais quoi d’autres ? D’espace vectoriel ? Mais j’ai un problème de dimension.  
  • Rien à voir, comme tu y vas !
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Modifié (July 2023)
    Bonjour

    > Mais j’ai un problème de dimension.  
    Ce n'est pas la taille qui compte  :) 
    Bon, je sors...

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (July 2023)
    Rien à voir dans le sens où ce ne sont pas du tout les même leçons. Bien sûr qu'il y a un lien entre les deux, mais le contenu des deux planches est très différent. 
    J'ai bien compris que certains aiment jouer sur les mots.
  • La formule sommatoire de 🐟 est dans l'intersection des deux leçons.
  • et dans interversions de limites... ça en fait des couplages à interdire.
  • Il y a aussi tout ce qui est échantillonnage de Shannon-Nyquist etc...

  • Modifié (July 2023)
    @jean-louis972
    Tu n'as pas préparé les oraux ? Tu es admis à l'interne ? 
    Tu as réussi à montrer que $\R^n$ est isomorphe à $\R_n[X]$ ? 
    La question sur "montrer que l'ensemble des matrice inversible est dense dans l'ensemble des matrices" je l'ai déjà vu en exercice mais pareil j'ai oublié comment faire, il me semble que c'est un exercice à astuce.
  • @OShine L'exo sur la densité est ultra classique : si $A$ est une matrice carrée réelle ou complexe, alors $A-tI$ est inversible pour tout $t$ sauf éventuellement un nombre fini (quand $t$ est une valeur propre de $A$). 
  • JLTJLT
    Modifié (July 2023)
    Ne pas savoir montrer que $GL_n(K)$ est dense dans $M_n(K)$ ($K=\R$ ou $\C$) garantit probablement une note très basse tellement l'exo est classique.
    Si $M$ est une matrice, $M-\frac{1}{k}I$ est inversible pour $k$ assez grand.
  • @jean-louis972 : On peut par exemple considérer la suite $A_n= A- \frac 1 n \mathrm{Id}$, on a par définition du polynôme caractéristique $\det(A_n) = P_A(1/n)$. Est-ce que tu vois pourquoi cette suite numérique est non nulle à partir d'un certain rang ?

    Double Fourier est un peu surprenant comme couplage, mais il n'y a pas forcément plus d'intersection qu'entre deux leçons d'algèbre linéaire et on voit des couplages de ce genre.   
  • Modifié (July 2023)
    Merci pour l'indication. Par contre dans $\R$ je vois qu'on considère la plus petite des racines du polynôme caractéristique mais dans $\C$ on fait comment vu qu'on ne peut pas comparer des complexes ? 
    Ca veut dire que le niveau d'exigence est élevé.
    Soit $M \in \mathcal M_n( \mathbf{K} )$.
    Par l'absurde, si $\forall k \in \N^{*} \ \chi_M(\dfrac{1}{k})=0=(-1)^n \det (M-\dfrac{1}{k} I_n)$ alors $\chi_M$ qui est un polynôme de degré $n$ aurait une infinité de racines ce qui est absurde. 
    En effet, $k \in \N^{*} \iff \dfrac{1}{k} \in ]0,1]$. 
    Il existe donc un rang $m \in \N^{*}$ tel que : $\forall k \geq m \ \ \chi_M(\dfrac{1}{k}) \ne 0$ donc pour tout $k \geq m$, $M-\dfrac{1}{k} I_n$ est inversible. 
    Par ailleurs, $M_k=M-\dfrac{1}{k} I_n \longrightarrow M$ lorsque $k$ tend vers plus l'infini.
    La suite $(M_k)_{k \geq m}$ est une suite d'éléments de $GL_n(\mathbf{K})$ qui tend vers $M$.
    On a montré que $GL_n(\mathbf{K})$ est dense dans $M_n( \mathbf{K} )$.



  • Supposons que pour tout $n>0$, il existe $m⩾n$ tel que $P_A(1/m)=0$. Alors…
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (July 2023)
    @nicolas.patrois
    Merci, en effet il y avait une erreur de logique dans mon raisonnement. 
    Ca voudrait dire que $P_A$ possède une infinité de racines ce qui est impossible car le polynôme caractéristique est de degré $n$.
    Donc il existe $n>0$ tel que $\forall m \geq n, \ P_A(1/m) \ne 0$.
  • MrJMrJ
    Modifié (July 2023)
    Une autre solution (plus difficile) : on peut aussi remarquer que les matrices non inversibles sont exactement les zéros d'un polynôme à plusieurs indéterminées (le déterminant), donc il s'agit d'un fermé d'intérieur vide (petit exercice), donc l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert dense.

    Edit : L’intérêt de cet argument et qu’il s’adapte à la plupart des densités classiques dans l’ensemble des matrices.
  • Modifié (July 2023)
    Une jolie solution très détaillée ce qui est rare de nos jours mais valable uniquement dans $\R$.
    Cette question a été posée à CCINP 2020.

  • Une autre solution (plus facile) : la matrice $diag(1,1,...,1,0,...,0)$ de rang $r$ est trivialement limite d'une certaine suite de matrices inversibles et le cas général s'en déduit par équivalence des matrices de même rang.
  • Modifié (July 2023)
    La suite de matrice est la suite définie par $A_n=diag(1, \cdots, 1, 1/n , \cdots, 1/n)$.
    Posons $I_r=diag(1, \cdots, 1, 0 , \cdots, 0)$.
    Les matrices de rang $r$ sont équivalentes à $I_r$ donc si $M$ est de rang $r$ il existe $P,Q$ inversibles tel que $M=PI_r Q$.
    La suite $(P A_n Q)$ converge vers $M$.
  • Je pense que la question sur l'isomorphisme entre $\R^n$ et $\R_n[X]$ était une sonnette d'alarme pour te faire remarquer l'erreur d'avoir dit que ces espaces ont la même dimension.
    Apparemment, tu n'as pas entendu l'alarme 😕
  • Cette erreur sur la dimension de $\R_n[X]$ est souvent soulignées dans les rapports de jury. 
  • Cela dit c’est juste une étourderie de mon point de vue. 
  • Modifié (July 2023)
    ev a dit :
    Pas simple...
    et R^n+1 j'ai mal repris l'énoncé dans le forum. On verra les résultats ce soir... mais en effet ça risque de ne pas être glorieux :)
  • Modifié (July 2023)
    Bonjour à tous, il me semble avoir lu sur un forum que l'on pouvait demander son bilan, remarques pour s'améliorer,.. Quelqu'un sait-il comment faire ? 
  • @m.c1pour tes retours d'oraux, tu peux envoyer directement un mail au président de jury avec ton n°candidat et en précisant que tu aimerais bien avoir si possible le détails des notes + commentaires etc... Pour les copies, tu peux récupérer les scans dès septembre en envoyant un mail à copie-dgrhd4 mais tu auras juste la note marquée (aucune autres annotations)...
  • Modifié (July 2023)
    @M.Floquet merci 
  • C'est vrai ? C'est possible de faire ça ? Ca me paraît fou :D
  • Modifié (July 2023)
    Résultats tombés.
    Félicitations aux admis 
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