Sujet maths du bac S 2018

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Réponses

  • Oui, il faut être conscient du côté parfois contre-intuitif :-) Dans mon poly de cours ces remarques sont bien identifiées sous l'étiquette de "zérologie" et je conseille aux étudiants de sauter ça en première lecture ou en tout cas surtout de ne pas bloquer dessus.

    Parmi ces remarques, des choses accessibles à un terminale mais susceptibles de le faire "buguer" :
    - un nombre naturel non nul est produit de nombres premiers : c'est vrai même pour $1$, le produit est vide donc vaut $1$.
    - la factorielle de $n$ est le produit des $k$ pour $k \in 1,n$ : c'est vrai pour $n=0$ aussi, $1,0$ est vide donc le produit est vide et vaut donc $1$.
    - etc... après dans les chapitres suivants c'est truffé de choses comme ça : les combinaisons linéaires vides valent $0$, les intersections vides valent tout l'ensemble etc.

    C'est très formateur mais comme je disais ça prend vraiment du temps de s'y habituer.
  • @questions : tu devrais plus varier tes exemples de "difficultés". Tu ressors toujours le même exemple : dans un monoïde commutatif $(M,\ast, e)$ ($\ast$ est une lci associative, commutative, d'élément neutre $e$), le produit
    $$\mathop{\ast}\limits_{i \in \emptyset} m_i$$ est l'élément neutre $e$. Je dirais que ça fait partie de la définition de produit d'une famille finie d'éléments de $M$.
  • Que ne connaissent pas les lycéens.
  • @Gabuzomeu : bah je sais bien, merci ;-)

    Mais bon, déjà c'est un peu le principe de la zérologie que d'être toujours la même chose :-) et d'autre part, je cherchais des exemples d'énoncés et de thèmes "courants" au lycée, mais avec une formulation inhabituelle pour eux, et c'est vrai que je n'ai pas tellement trouvé d'exemples. (Les exemples habituels sont souvent à base d'ensembles, des parties, d'applications...)

    Donc si tu as d'autres exemples dans un contexte lycée je veux bien. Justement pour mes futurs L1 tout juste sortis du bac, ça m'intéresse. Bon, bien sûr, des implications avec prémisse fausse, c'est le filon en or de trucs un peu déroutants et j'ai plein d'exemples, je suis plutôt à la recherche d'exemples dans un contexte de calcul (d'où mes exemples avec des sommes et produits vides : on peut leur montrer ça dès les premières semaines de L1, et même faire des preuves où ça intervient).
  • Sinon, j'ai cherché un peu sur le site de l'apmep pour voir ce qu'il y avait comme exercices sur les matrices au bac. En plus des calculs de puissances de matrices (via réduction ou via polynôme annulateur), j'ai trouvé un exo de "codage/décodage" avec des congruences, : Antilles-Guyane 2013, Centres étrangers 2014, Pondichéry 2016, à chaque fois quasiment exactement le même exo.

    Pour les équations diophantiennes, il y a donc Asie 2015 qui est exactement la même équation diophantienne que Métropole 2018, et Métropole 2017. Donc c'est déjà tombé plusieurs fois mais on ne peut quand même pas qualifier ça de classique comme je l'ai fait. Cela dit, le fait que ça tombe en métropole deux années de suite va sans doute en faire un classique.

    Je comprends pas que ce soit pas plus varié, ça fait quand même 5 ans. Par exemple, ils n'ont pas l'air d'avoir fait des sujets sur la représentation matricielle des nombres complexes, ou de façon équivalente que la géométrie plane revienne par l'intermédiaire des matrices, même s'ils ont perdu les similitudes en notation complexe (ça j'espère bien que ça va finir par revenir).

    Ca fait quand même plein de potentiels sujets : écrire une symétrie axiale sous forme matricielle, tracer des points etc, pareil pour une rotation, après on peut imaginer faire calculer des puissances de telles matrices (par exemple des puissances d'une matrice de rotation, avec une récurrence et utilisation des formules de trigo etc.

    On peut même imaginer faire revenir les exercices sur les spirales etc, avec des matrices de similitudes (sans le dire).

    Pour en revenir au sujet de spécialité du bac c'est-à-dire les Pell-Fermat, ou plutôt à la théorie sous-jacente, en plus des très bons documents cités plus haut (image des maths) il y a des TD sur les fractions continues en bas de la page suivante (et aussi des TD sur les formes quadratiques binaires):
    http://perso.ens-lyon.fr/samuel.le_fourn/Enseignement.html
    le cours sur les formes binaires est celui-ci:
    http://perso.ens-lyon.fr/laurent.berger/autrestextes/PolyM1TDN.pdf

    Je viens de lire un bout du poly, ca a l'air très bien !
  • Il n'y a rien de mystérieux dans "pour tout x dans l'ensemble vide, x a la propriété P" (puisque dans le cas contraire il existe au moins un x dans l'ensemble vide qui n'a pas la propriété P ce qui ests impossible). C'est tout ce qu'il y a besoin de savoir pour pratiquer la "zérologie".
    Et il faut arrêter d'encourager les élèves (ou des gens d'un âge avancé qui ont encore du mal apparemment) dans leur incurie par rapport à ça, ça ne fait qu'handicaper leur apprentissage du raisonnement hypothético-déductif dont ceci est l'une des bases. Ca n'est pas incompatible avec l'apprentissage du calcul (qui est surtout un entraînement, empêché non pas par la rigueur logique(!!!!!!) mais par la diminution des horaires de maths, l'indiscipline délirante dans les classes et l'arrogance des inspecteurs qui font tout pour interdire aux profs d'entraîner les élèves parce que "c'est passéiste").
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Fdp : une propriété héréditaire encore plus simple : pour $n$ entier naturel, $P(n)$ : $\ll n=n+1 \gg$.
  • Dans mon poly de cours ces remarques sont bien identifiées sous l'étiquette de "zérologie"
    À force de répéter que l'ensemble vide est vraiment un cas à part dont il faut se méfier et qui ne peut relever que de conventions ad hoc, on finit par en persuader les étudiants.

    GaBuZoMeu
    Secrétaire Général de la LPDEV
  • Foys : Je pense que l'enjeu du débat n'est pas là.
    La question est plutôt de savoir si le raisonnement que tu as fait avec l'ensemble vide est quelque chose de profondément inscrit dans le cerveau des petits enfants depuis qu'ils ont 5 ans (pour reprendre cc) ou si, au contraire, il faut leur apprendre, au moins une fois, et leur faire "découvrir".
    Si on pense que c'est la seconde option qui est vraie, alors cette "découverte" peut être plus ou moins crispante pour l'élève selon la manière dont on introduit la chose.

    L'exemple de cc "Si tu avances je tire = n'avance pas ou je tire" est un très bon exemple (très pédagogique pour le coup) pour faire comprendre à l'élève qu'il est naturel de poser A implique B = B ou non A.
    Maintenant si on donne l'exemple "Si la terre est rouge, alors je suis le pape" en disant que la phrase est vraie, et bien tu vas créer (de mon expérience) un peu de crispation chez l'élève. L'élève va devoir "vaincre" quelque en lui pour l'accepter, et ce pour la simple raison qu'on lui aura proposé une phrase avec des morceaux qui n'ont aucun sens. Le fait pour l'élève de comprendre qu'en mathématiques on se moque du sens mais qu'il s'agit juste de bêtes règles grammaticales est une violence. Du moins c'est mon avis.
  • LP:

    Il faut aussi se demander l'intérêt pédagogique de ces exemples simples.

    L'exemple donné sur Wikipedia a l'avantage qu'un élève lambda ne peut pas se rendre compte à la lecture de la propriété donnée qu'elle n'est vérifiée par aucun entier naturel.

    Si tu demandes pour cette propriété d'établir d'abord que P(n)=>P(n+1) pour tout n entier naturel les élèves auront l'impression qu'on leur demande le travail ordinaire à faire pour un raisonnement par récurrence.

    Après si tu leur fais démontrer, par ailleurs, que la propriété n'est vraie pour aucun entier naturel cela devrait produire son effet.
    Effet qui serait absent, à mon humble avis, en utilisant une propriété qui est vue d'emblée comme fausse par un élève lambda.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Gabuzomeu et Foys : vous le faites exprès ?...

    Déjà, je n'ai jamais dit que c'était un cas à part, ni qu'il fallait s'en méfier, ni que c'était des convention ad hoc, j'essaie en général de faire passer le message opposé. Mais, à part si vous n'enseignez pas en L1, vous ne pouvez pas ignorer la réalité.
    La réalité, c'est que contrairement à ce que dit Foys, c'est mystérieux pour un élève lambda sortant de terminale. Très mystérieux, même. Pas intuitif. Ca prend vraiment du temps pour qu'ils s'habituent, et ça ne me semble pas délirant de conseiller de sauter certaines remarques en première lecture, en disant d'y revenir ensuite lorsqu'ils auront gagné en maturité.

    De façon générale, faire une réaction épidermique à la seule idée de "ne pas étudier les choses à fond et comme il faut dès le début", c'est rarement constructif. En fait, c'est souvent un marqueur de troll, et d'ailleurs vu le ton des messages je pense que c'est ça. :-) Enfin, il faut chaud, on est un peu désœuvré (moi aussi apparemment, qu'est-ce que je fous ici d'ailleurs), faut bien se défouler en grognant :-)
  • Mais, à part si vous n'enseignez pas en L1, vous ne pouvez pas ignorer la réalité.
    Les choses ont peut-être changé et ça s'est peut-être mis à poser de gros problèmes en L1 depuis huit-dix ans. Mais je n'ai jamais rencontré ce type de problème en L1 ou L2.
    Par contre, j'ai bien vu des manuels où on évitait soigneusement l'espace nul pour parler de bases (Le Grifone par exemple, dans mes souvenirs).
    La seul épisode dont je me souviens où l'ensemble vide ait réellement posé problème à quelques étudiants est en prépa agreg ; ces étudiants refusaient de croire qu'une récurrence où on démontre :
    "Pour tout entier naturel $n$, si $P(k)$ pour tout entier naturel $k<n$ alors $P(n)$"
    n'a pas besoin d'initialisation.
    Et en ce qui me concerne, la seule chose qui m'embête à propos de l'ensemble vide (j'en ai peut-être oublié d'autres) est l'histoire des sous-espaces affines : un sous-espace affine ne peut pas être vide puisqu'un espace vectoriel agit de façon simplement transitive dessus. Mais les sous-espaces affines ont le mauvais goût de pouvoir avoir des intersections vides. Il me semble que Bourbaki a une solution tarabiscotée à ce problème, en distinguant sous-espaces affines et sous-variétés affines, mais je ne peux pas vérifier la formulation exacte.
    Enfin, tout ceci nous emmène loin du sujet du bac.
  • GaBuZoMeu: si $G$ est un groupe et $\varphi:G\to \emptyset^{\emptyset}$ l'unique fonction constante, on a bien $\forall x \in \emptyset, \forall y \in \emptyset, \exists ! g \in G, \varphi (g,x) = y$ (en plus du fait que $\varphi$ est un morphisme de groupes pour la composition des applications)?
    Qu'est-ce qui empêche de dire qu'une partie $M$ d'un espace affine $E$ est un sous-espace affine s'il existe un sous-epace vectoriel $H$ de la direction $\vec E$ de $E$ tel que pour tous $x\in M$ $y \in E$ et $\vec{v}\in \vec{E}$,si $x+\vec{v}=y$ alors $\vec{v}\in H$ si et seulement si $y \in M$ ?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • J'ai l'impression que le problème du vide est plutôt la non-unicité de la direction d'un espace affine.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Foys : l'action de $G$ sur $\emptyset$ n'est pas transitive (transitive = une et une seule orbite).

    La page wikipedia est fautive : elle définit correctement "action transitive" et ensuite se trompe sur "action simplement transitive".
  • Je ne savais pas. C'est bizarre car les deux définitions sont équivalentes lorsque l'espace est non vide.
    Les usagers des actions de groupes doivent être vidophobes eux aussi (à moins qu'il y ait une vraie raison de l'exclure; le quotient de cardinal un peut-être).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Soit $E$ un ensemble. $P$ une propriété de $E$.

    A-t-on
    \[ (\forall x \in E, P(x)) \implies (\exists x \in E, P(x)) \, ? \]

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • @ev (et tous ceux qui prétendent que des énoncés comme faux => faux et "pour tout x dans le vide, P(x) est vraie" sont complètement dénués de sens):


    Le fait que pour tout élément de l'ensemble vide ait toutes les propriétés est le résultat d'une suite de lapalissades et ne découle de rien de conceptuel.
    Mais il importe de donner les définitions précises des connecteurs (bref la règle du jeu explicite).

    En logique classique les symboles $\exists$, $\wedge$ (et), $\neg$ (négation) ont exactement leur sens courant. Autrement dit on manipule des énoncés construits avec ces connecteurs et des symboles spécifiques aux théories, comme $\in$ en théorie des ensembles.
    Dans toute la suite, un énoncé quelconque est toujours vrai ou faux (même si parfois il n'y a pas moyen de savoir lequel des deux cas se produit).
    *)$\exists x:P (x)$ est vraie s'il y a au moins un $\tau$ tel que $P(\tau)$, fausse dans tous les autres cas.
    **)$A\wedge B$ est vraie si $A$ est vraie et $B$ est vraie, fausse dans tous les autres cas.
    ***) Si $A$ est vraie, $\neg A$ est fausse. Et si $A$ est fausse, $\neg A$ est vraie.
    ****) deux énoncés sont équivalents s'ils sont tous deux vrais ou tous deux faux.

    Donc par exemple:
    (a) lorsque $F$ est un énoncé, $\neg \neg F$ est toujours équivalent à $F$;
    (b)De même, si $A(t)$ et $B(t)$ sont équivalents quels que soit l'objet $t$, alors $\exists u:A(u)$ et $\exists u:B(u)$ sont équivalents (selon qu'il y ait bien un $u$ tel que $A(u)$ ou non).
    On introduit les abréviations suivantes:
    (i) $U \Rightarrow V$ abrège $\neg (U \wedge \neg V)$. L'implication mathématique (en logique classique) ne signifie strictement rien d'autre.
    (ii) $\forall x: P(x)$ abrège $\neg \left (\exists x: \neg P(x) \right )$
    (iii) $\exists y \in E: P(y)$ abrège $\exists y: \left [y \in E \wedge P(y) \right ]$


    La négation de l'énoncé $\left (\exists y \in E: \neg Q (z)\right )$ est donc $\neg \left ( \exists z: z \in E \wedge \neg Q(z)\right )$ et d'après (a) et (b) ci-dessus, cet énoncé est équivalent à $\neg \left [ \exists z: \neg \neg \left ( z \in E \wedge \neg Q(z) \right) \right ]$, qui n'est autre (cf abréviation (ii)) que $\forall z: \neg \left ( z \in E \wedge \neg Q(z) \right )$,
    autrement dit (abréviation (i)) $\forall z \left (z \in E \Rightarrow Q(z)\right )$

    (iv) on conviendra donc que $\forall z \in E: Q(z)$ est l'abréviation de $ \neg \left (\exists y \in E: \neg Q (z)\right )$

    #########
    Parlons un peu de l'ensemble vide:
    Soit $V$ un ensemble tel que $\neg \exists x:(x \in V)$.
    Alors si $P$ est une propriété, $t \in V \wedge \neg P(t)$ est toujours fausse quel que soit $t$. Bref on a $\left (\exists x: [x \in V \wedge \neg P(x)]\right ) = \exists x \in V: \neg P(x)$ fausse, donc $\neg [ \exists x \in V: \neg P(x) ]=\left ( \forall x \in V:P(x)\right )$ vraie (cf abréviation iv).

    ##########

    Considérons l'énoncé $$A(E):=\left (\forall x \in E:P(x)\right ) \Rightarrow \left( \exists x \in E:P(x)\right)$$.
    On va voir qu'en fait $A(E)$ équivaut à "$E$ est non vide".

    $A(E)$ n'est rien d'autre que la négation de l'énoncé $B(E)$ suivant:
    $$\begin{align} & \left (\neg \left [\exists x \in E : \neg P(x) \right ] \right )\wedge \neg \left( \exists y \in E: P(y) \right )
    \\ = & \left (\neg \left [\exists x: x \in E \wedge \neg P(x) \right ] \right )\wedge \neg \left( \exists y: y \in E \wedge P(y) \right ) \end{align}$$.

    S'il y a un élément quelconque $u$ dans $E$ alors selon que $P(u)$ est vraie ou fausse, on a l'un des deux énoncés $\exists u:\left [u \in E \wedge P(u) \right ]$ ou $\exists u:\left [u \in E \wedge \neg P(u) \right ]$ qui est vrai. Par suite l'un au moins des énoncés $\neg \exists u:\left [u \in E \wedge P(u) \right ]$, $\neg \exists u:\left [u \in E \wedge \neg P(u) \right ]$
    est faux et donc $B(E)$ est fausse et donc $A(E)$ est vraie.

    Si $E$ est vide, alors $\exists u:\left [u \in E \wedge P(u) \right ]$ ou $\exists u:\left [u \in E \wedge \neg P(u) \right ]$ sont tous les deux faux, ainsi $B(E)$ est vraie et $A(E)=\neg B(E)$ est fausse.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys écrivait:
    Considérons l'énoncé $$A(E):=\left (\forall x\in E:P(x)\right ) \Rightarrow \left( \exists x\in E:P(x)\right)$$.
    On va voir qu'en fait $A(E)$ équivaut à "$E$ est non vide".

    Entièrement d'accord avec ça.

    Le fait que l'ensemble vide - loué soit son secrétaire à la défense - soit dérogatoire à cet énoncé $A(E)$ ne serait-il pas une explication de cette mésentente ?
    Je me place bien entendu sur le plan psycho-logique voire sur le plan pédago-logique, le plan logique étant (pour ma part) acquis.
    En bref, ne faudrait-il pas insister sur ce point auprès des étudiants ?

    amicalement,

    e;v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • GBZM a écrit:
    "Pour tout entier naturel n, si P(k) pour tout entier naturel k<n alors P(n)"
    n'a pas besoin d'initialisation.

    Je ne suis pas sûr de comprendre ce que veut dire le mot initialisation dans le contexte.

    C'est le même concept que celui utilisé dans un raisonnement par récurrence?

    Pour montrer que $P(n)=>P(n+1)$ pour tout $n$ entier naturel dans un raisonnement par récurrence on ne cherche pas à montrer (seulement ou à part) que $P(0)=>P(1)$, on ne cherche pas à montrer que $P(0)$ est vraie à cette étape

    Dans une récurrence dite totale je crois, on remplace la propriété $P(n)$ définie pour tout entier naturel par la propriété $Q(n)$ définie par: pour tout $k\leq n$, entier naturel, on a la propriété $P(k)$.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • ev a écrit:
    Je me place bien entendu sur le plan psycho-logique voire sur le plan pédago-logique, le plan logique étant (pour ma part) acquis.
    En bref, ne faudrait-il pas insister sur ce point auprès des étudiants ?
    Il faut leur communiquer précisément, explicitement ce qu'est l'implication, avant toute chose.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Tout l'enjeu est précisément de savoir comment on communique.
    Si l'on pense que c'est totalement intuitif, on donne la définition et basta. (Sans fournir un exemple qui forcerait l'étudiant à accepter que la définition est "la plus naturelle".)
    Si l'on pense que c'est intuitif mais qu'il faut quand même "forcer" l'élève à s'en rendre compte, alors on peut donner un exemple. C'est précisément à ce moment-là précisément que la pédagogie intervient. (Pédagogie au sens noble du terme.)
    Foys l'a suffisamment expliqué, tout ça c'est de la grammaire, on enchaîne bêtement des règles. Alors, plaçons-nous provisoirement dans le cadre d'un cours de français plutôt que dans le cadre d'un cours d'un maths. Supposons que je doive enseigner la règle "sujet-verbe-complément" à des élèves de 10 ans. Quel exemple de phrases vais-je choisir en guise d'illustration ? Vaut-il mieux choisir "La cerise est rouge" ou choisir "Le mer est rouge" ? Ces deux phrases sont ABSOLUMENT correctes sur le plan grammatical, il n'y en a pas une qui soit inférieure à l'autre dans la théorie. Dans la pratique, on sait très bien que la seconde phrase va provoquer un bug chez les élèves. Evidemment, quant les élèves auront 18 ans, ils n'auront plus aucun problème à apprendre la grammaire avec des phrases absurdes car ils auront digéré depuis longtemps le fait que la grammaire et le "sens réel des choses" n'ont rien à voir.

    En maths c'est pareil, sauf qu'à cause du retard monstrueux dans l'enseignement des maths, ce qui se passe pour des élèves de 10 en français se passe encore pour des élèves de 20 ans en maths. Dire "Si tu avances je tire = n'avance pas ou je tire" est un très bon exemple. Car les actions "d'avancer" et de "tirer" sont immédiatement traduites en image mentale par l'élève. Ces concepts ont du sens pour lui. Si je donne la phrase "Si la terre est plate, je suis le pape", cela crée un bug tout à fait naturel. Et évidemment ce bug est TOTALEMENT et FACILEMENT surmontable, à condition d'avoir donné l'autre exemple d'abord. Il faudrait vraiment être stupidement anti-pédagogique pour donner l'exemple du pape avant l'exemple du pistolet.

    Je trouve qu'on touche à l'un des rares sujets où la pédagogie a du sens. Il s'agit ici de forcer la cohérence interne de l'élève. Lui faire comprendre que la définition était inscrite au fond de lui-même depuis longtemps et qu'il doit juste s'en rendre compte. Sauf que pour ce faire, choisir les bons exemples est VITAL. Si on commence d'entrée de jeu à dire $\cap \emptyset = X$, vous verrez les figures de vos élèves devenir blanches comme des linges.

    PS : On m'informe en mp que l'exemple du "N'avance pas ou je tire" est du à Jean Coret. J'en profite pour lui rendre hommage et le remercier de cet exemple que je donne à présent toujours à mes élèves.
  • Fin de partie, la récurrence est un cas particulier du phénomène suivant:

    Soit $X$ un ensemble quelconque et $R$ une relation sur $X$ (i.e. une partie de $X^2$ mais on notera $a R b$ au lieu de $(a,b) \in R$).
    On dit que $R$ est bien fondée si pour toute partie $Y$ non vide de $X$, il existe $m \in Y$ tel qu'il n'existe aucun $u \in Y$ tel que $uRm$ (dit de façon imagée, une partie non vide de $X$ admet toujours au moins un élément "minimal", encore que $R$ n'est même pas nécessairement une relation d'ordre).
    De même on appellera, si $a\in X$, prédécesseur de $a$ tout élément $b\in X$ tel que $bRa$

    Soit $A$ une partie de $X$. On suppose que pour tout $x\in X$, si tous les prédécesseurs de $x$ appartiennent à $A$ alors $x$ appartient à $A$ (on dira plus bas que $A$ vérifie l'hypothèse d'induction).
    Alors $A=X$.
    (induction bien fondée).

    En fait ça provient juste du fait que si $X \backslash A$ est non vide, alors ($R$ étant bien fondée)il y a un $\mu \in X \backslash A$ minimal, contredisant l'hypothèse.

    Un élément de $X$ est dit initial s'il n'admet aucun prédécesseur. Si $X$ est non vide il en existe toujours (en appliquant la définition de bien fondée à $X$ tout entier).

    Comme exemples de relations bien fondées sur $\N$ citons:
    1°) l'ensemble des couples $(n,n+1)$ où $n\in \N$ (avec $0$ comme élément initial).
    2°) l'ordre strict usuel de $\N$ (avec à nouveau $0$ comme élément initial).

    Revenons au cas général:

    Soit $X$ un ensemble, $R$ une relation bien fondée sur $X$, $A$ une partie de $X$. Alors $A$ vérifie l'hypothèse d'induction si et seulement si:
    (i) pour tout élément initial $x$ de $X$, $x\in A$.
    (ii) pour tout élément non initial $x$ de $X$, si tout prédécesseur de $x$ est dans $A$ alors $x$ est dans $A$.

    Il suffit de vérifier que pour un élément initial $x\in X$, $x\in A$ si et seulement si, $\Phi \Rightarrow x \in A$ où $\Phi$ désigne l'énoncé "tout prédécesseur de $x$ est dans $A$". Mais ceci est évident puisque l'ensemble des prédécesseurs de $x$ est vide.

    Les applications aux relations bien fondées ci-dessus sont immédiates.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • GaBuZoMeu écrivait:
    l'action de $G$ sur $\emptyset$ n'est pas transitive (transitive = une et une seule orbite).

    Aïe... Dans le Berger, Géométrie 1 (Cassini, 2016), page 26, on a la définition suivante :
    Marcel Berger a écrit:
    L'opération $(G, X, \varphi)$ est dite transitive si
    \[ \forall x, \forall y\in X, \; \exists g\in G \ | \ g(x) = y \]

    Je ne vois rien dans le texte qui indique que $X$ doit être non vide. Cette définition est toujours vérifiée lorsque $X = \emptyset$, alors qu'il ne peut y avoir d'orbite dans ce cas. Ai-je mal compris, y a-t-il une erreur, ou bien plusieurs définitions en vogue ?..

    Merci !
  • Il y a effectivement deux possibilités : exactement une orbite ou au plus une orbite. Je m'en tiens maintenant à exactement une orbite, comme le font je crois la plupart des auteurs, c'est ce qui me paraît le plus raisonnable. (Je n'ai pas Bourbaki sous la main pour vérifier, mais je crois que c'est comme ça chez Bourbaki.)
    En tout cas, une chose est sûre : on ne peut pas définir "transitive" par "exactement une orbite" et dire après que que "simplement transitive" (= transitive + libre) équivaut à $\forall x \in X\ \forall y\in X\ \exists! g \in G\ g\cdot x = y$. C'est pourtant ce qui figure dans la page Wikipedia.
  • Oui, j'avais bien compris ça (mais pas remarqué avant la lecture de cette discussion), merci de l'avoir signalé.
  • Fin de partie écrivait:
    > Je ne suis pas sûr de comprendre ce que veut dire le mot initialisation dans le contexte.

    Pour tout entier naturel $n$, notons $H(n)$ la propriété :
    si $P(k)$ pour tout entier naturel $k<n$, alors $P(n).$
    Chaque $H(n)$ est une étape de l'hérédité, n'est-ce pas ? Mais pour $n = 0$, c'est rigolo, car $H(0) \iff P(0)$ (tu peux t'en convaincre avec les explications de Foys). Donc la première étape de l'hérédité est, avec cette formulation, l'initialisation.

    Edit

    Une autre manière de voir les choses : vu que $H(0)$ est à peu près littéralement « $\text{vrai} \implies P(0)$ »[1], on peut considérer que « l'initialisation » dans une telle récurrence consiste à démontrer « vrai »... c'est-à-dire à ne rien faire. D'où le fait que ce type de récurrence ne nécessite pas d'initialisation.

    [1] Puisque $H(0)$ signifie $\left( \forall k\in \emptyset,\ P(k) \right) \implies P(0)$.
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