Suite de fonctions - formule de Stirling

Adri54

Bonjour à tous,

Je planche actuellement sur l'exercice suivant:

1. Déterminer la limite simple des fonctions $f_n (x)=\dfrac{x^ne^{-x}}{n!}$ sur $\mathbb{R}^+$ et montrer qu'il y a convergence uniforme.
2. Calculer $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \int_{0}^{+\infty}f_n(x)dx$. Quel commentaire cela vous inspire t'il?

Je n'ai malheureusement pas trouver la correction de cet exercice et je ne sais pas si mon travail est juste (voir paragraphe ci-dessous).
De plus je comprend pas vraiment la dernière question: "Quel commentaire cela vous inspire t'il?" Pourriez-vous m'aider sur ce point?
Merci de votre aide.

1. Soit $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ la suite de fonctions définies sur $\mathbb{R^+}$ par $f_n (x)=\dfrac{x^ne^{-x}}{n!}$. Soit $x\in \mathbb{R}^+$, on a alors pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{x}{n+1} \xrightarrow[n \xrightarrow {}+\infty]{}0$.
Par conséquent, la suite de fonctions $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R^+}$ vers la fonction nulle .
En étudiant les variations de la suite de fonctions sur $\mathbb{R^+}$, on voit que: $f'_n(x)=\dfrac{x^{n-1}e^{-x}(n-x)}{n!}$
Ainsi, $\underset{x \in R^+}{\sup} |f_n(x)-f(x)| \leq f_n(n) = \dfrac{n^ne^{-n}}{n!}\underset{n \xrightarrow {}+\infty}{\sim} \dfrac{n^ne^{-n}}{n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}} \xrightarrow[n \xrightarrow {}+\infty]{}0$
Ainsi la suite de fonctions converge uniformément sur $\mathbb{R^+}$.
2. Par conséquent, $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \int_{0}^{+\infty}f_n(x)dx=\int_{0}^{+\infty} 0 dx=0$

Algèbre

Pour la 2) est tu sur de ta convergence? (:D. Essaie de faire un calcul.

Si on était sur un compact se serait vrai mais là.

zorg69

Pour le 2-, essaye de calculer l'intégrale en question (après t'être assuré qu'elle avait un sens en $\infty$ ) via des intégrations par parties.

Adri54

Donc en faisant une intégration par partie, on voit que:
$\forall n \in \mathbb{N} ,\ \int_{0}^{+ \infty} f_n(x)dx=\dfrac{n!}{n!}=1$
Ainsi $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \int_{0}^{+\infty}f_n(x)dx=1$
Par ailleurs, $\int_{0}^{+\infty} \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f_n(x)dx=0$
Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \int_{0}^{+\infty}f_n(x)dx \neq \int_{0}^{+\infty} \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f_n(x)dx$
Est-ce bien cela ?

Poirot

Oui, malgré le fait qu'il y a convergence uniforme ! Quel commentaire cela t'inspire-t-il ? ;-)

Adri54

L'interversion limite intégrale est uniquement valable si la suite de fonctions converge uniformément sur un intervalle borné de $\mathbb{R}$.
Ici $[0,+\infty[$ n'étant pas borné, l'égalité n'est pas vérifiée.

Algèbre

Voilà. C'est ce qu'on appelle un exercice contre-exemple.

Adri54

Très bien, j'essaierai de me rappeler de cette condition désormais. Merci pour votre aide.

zorg69

En fait pour que ça marche, il faudrait en plus une hypothèse de domination par une fonction intégrable.C'est le théorème de Lebesgue(ou de la convergence dominée), qu'on voit en général à compter du second cycle.