Cherche notion mathematique

Eric Chopin

Bonjour a tous,

Je viens d'imaginer un objet mathematique et je me demandais
si ca existe deja dans la litterature (sous quel nom?):

Si $f$ est une fonction de $R_+$ dans $C$, je dis que $f$ admet
un "conjugué répliquant" s'il existe une fonction $R_f$ de
$R_+$ dans $C$ telle que pour tout réel strictement positif $t$ on ait:

$$
\int_0^\infty R_f( tx) f(x) dx = f(t)
$$

Si quelqu'un a des references a proposer sur ce genre de bestiole
ca m'interesse.

A+

Eric

Said6

Bonjour

est ce que je peux savoir tes motivations pour oser imaginer cette bestiole.

Amicalement

Said

Eric Chopin

Salut Said,

Certaines fonctions un peu speciales comme par exemple
$(e^t-1)^{-1}-1/t$ admettent un conjugué répliquant,
et la bestiolle en question permet d'obtenir l'equation
fonctionnelle de $\zeta$ d'une facon quelque peu originale.

A+

eric

tom21

Les distributions pourraient éventuellemnt t'aider: si tu considéres la masse de Dirac en t (la masse de Dirac est défini comme ça:
$\delta_{t}(x)$=0 si x est différent de t et
=1 si x=t.
Avec ceci tu obtient:
$\int_{0}^{\infty}\delta_{t}(x)f(x)dx$=f(t).
Mais s'il faut avoir une fonction dépendant seulement de f et pas de t, ça ne marche pas.

Pour plus de détail sur les distributions tu peux toujours consulter le bouquin du père fondateur: Scwarz

tom21

Les distributions pourraient éventuellemnt t'aider: si tu considéres la masse de Dirac en t (la masse de Dirac est défini comme ça:
$\delta_{t}(x)$=0 si x est différent de t et
=1 si x=t.)
Avec ceci tu obtient:
$\int_{0}^{\infty}\delta_{t}(x)f(x)dx=f(t)$.
Mais s'il faut avoir une fonction dépendant seulement de f et pas de t, ça ne marche pas.

Pour plus de détail sur les distributions tu peux toujours consulter le bouquin du père fondateur: Scwarz

Said6

$delta_{t}(x)$ ne peut pas s'ecrire comme $R_f( tx) $

Said6

$\delta_{t}(x)$ ne peut pas s'ecrire comme $R_f( tx) $

Eric Chopin

Attention tom, $\delta_t(x)$ s'ecrit aussi (par abus de notation)
$\delta(x-t)$, or dans mon cas il ne s'agit pas d'une soustraction
mais d'un produit $R_f(tx)$. Il s'agit vraiment d'une notion a part.
On peut la ramener a des choses connues en changeant de
variable $x=e^y$ et on tombe sur un produit de convolution
un peu biscornu.


Dans l'exemple que j'ai cité à Said, le conjugué répliquant (unique)
vaut $t\mapsto \frac{1}{\pi}\sin\left(\frac{t}{\pi}\right)$, par
exemple.

A+

eric

Said6

jolie formule formelle

si $f(t)=\sum _{n\geq 0}a_nt^n$ alors


$$R_f( t) =\sum _{n\geq 0}\frac{a_n}{\int _0^{+\infty}x^nf(x)dx}t^n$$


Said

Lionel210

Tom, ton integrale est nulle puisque la fonction de Dirac est nulle presque partout. La fonction de Dirac donne la distribution reguliere nulle.

Lionel

Eric Chopin

Effectivement Said!
Sauf quand meme que pour la fonction que j'ai cité
ces intégrales au dénominateur sont divergentes, mais
on s'en sort quand meme avec une petite astuce ($\int R_f(tx) x^{-1}dx$
ne depend pas de $t$).

A+

eric

dark vador0

hello
l'operateur est lineaire c'est pb de valeur propre et fonction propre
a+

Eric Chopin

Sauf que la c'est un peu l'inverse qu'on cherche.
On te donne le vecteur propre et tu cherches l'operateur
sous réserve qu'il ait une certaine forme.
Et $f\mapsto R_f $ n'est pas lineaire du tout, par contre
$R_{Cf}=R_f$ si $C$ est un nombre complexe non nul (en admettant
que le conjugué d'une fonction réplicable soit unique ce qui n'est
pas totalement évident, sauf si $f$ a de bonnes propriétés qui
permettent d'utiliser la formule que Said mentionne plus haut).

a+

eric

Eric Chopin

Je fais remonter, au cas où...

Si ça évoque quelque chose à quelqu'un, toute référence est la bienvenue!

Eric

scoum

Bonjour,

ça me fait un peu penser aux noyaux reproduisants mais ce n'est plus qu'un vague souvenir...

++Scoum

Eric Chopin

Salut Scoum,
Les "reproducing kernels" sont des objets assez differents. Si $H$ est
un espace de hilbert de fonctions alors un "reproducing kernel" $K$
verifie:

$$
\forall f \in H, f(x)= \int_\Omega K(x,y)f(y)dy
$$

Donc dans $K$ ce n'est pas le produit $xy$ qui intervient
et l'égalité doit etre vraie pour toute fonction de $H$.

C'est pour ca que j'ai choisi un autre nom, parce que les 2 notions
sont bien distinctes.

a+

eric

scoum

Tu as raison sur le fait que l'égalité doit être vraie pour tout $f$ dans ton espace. Par contre $K$ est une fonction de deux variables et peut donc très bien être du type $K(x,y)=\tilde{K}(xy)$ (si tant est bien sûr que le produit a un sens !)... Ce n'est donc quand même pas si loin, non ??

++Scoum

Eric Chopin

Alors disons que je m'interesse a un cas particulier de
"reproducing kernel" ou l'espace de Hilbert est de dimension 1 et
ou le noyau est de la forme $\hat K(xy)$.... c'est vraiment un cas
tres particulier alors !!
En fait ca ne correspond pas parce que la définition impose aussi
que pour tout $x$, $y \mapsto K(x,y)$ soit aussi dans $H$,
et devrait donc etre proportionnel à $f$, ce qui ne marche pas dans les exemples sur lesquels j'ai travaillé.

a+

eric

Said6

pour Eric Chopin

1) $f(t)=e^{-t}$ admet un conjugué repliquant.

2) prenons des fonctions holomorphes seulement dans un secteur issu de l'origine bissecté par $\R^+$ admettant un developpement asymptotique de la forme ($\sum a_nx^n$), alors le conjugué repliquant
(si il existe )admet aussi comme developpement asymptotique$\sum _{n\geq 0}\frac{a_n}{\int _0^{+\infty}x^nf(x)dx}t^n$.

Comme exemple (limite) la solution de l'equation d'Euler cad

$x^2y'+y=x$ admet comme solution

$f(x)=\int _0^{+\infty}\frac{1}{1+t}e^{\frac{-t}{x}}dx$ qui admet developpement asymptotique $\sum(-1)^n n!x^{n+1}$.

le developpement asymptotique de son conjugué (je crois)repliquant est nul ce qui implique qu'il est plat ((si il existe ).


A suivre , que penses tu?

Said

Eric Chopin

C'est marrant dans ton premier exemple on tombe sur la transformée
de Borel de $e^{-t}$ et ta fonction de depart dans le 2e exemple
c'est une transformée de Borel inverse de $(1+x)^{-1}$.
Ca n'a aucun rapport mais la coincidence est amusante.

Concernant ton 2e exemple il faut faire attention qu'ici on a
tendance a imposer que $R_f$ soit DSE en 0 avec un rayon
infini (en supposant $f$ analytique sur $R_+$ au moins).
Mais rien n'interdit a priori que $R_f$ soit seulement
analytique pour $x>0$, comme ici ou tu as une singularité
essentielle en 0. Donc pas sur que ta fonction soit non replicable.

Sinon on peut remarquer aussi qu'une gaussienne est aussi
replicable puisque sa transfo de fourier donne en gros elle
meme si on normalise bien. Ensuite on a aussi comme
propriétés que si $f$ est replicable de conjugué $R_f$
alors $f(ax)$ est replicable de conjugué $aR_f(a^2x)$, et
il est aussi remarquable que la seule fonction puissance
qui soit replicable est $x^{-1/2}$ est qu'elle possede
une infinité de conjugué (pour toute fonction
$R(x)$ telle que $N= \int_0^\infty R(x)x^{-1/2}dx$ existe alors
$N^{-1}R(x)$ est un conjugué de $x^{-1/2}$...

a+

Eric

B....t0

Bonsoir Eric,

Je suis curieux de voir comment tu en déduis l'équation fonctionnelle de zêta.

Benoit

Eric Chopin

Les justifications rigoureuses des calculs sont un peu longues,
en particulier parce qu'on utilise Fubini dans un cadre ou on
n'est pas assuré que ca marche (mais c'est bien le cas ici).
Je resume donc.

On a pour $s$ dans la bande critique (on peut prolonger
analytiquement ensuite) :

$$\Gamma(s)\zeta(s)=I(s)=\int_0^\infty t^{s-1}\phi(t)dt$$
avec $\phi(t)=(e^t-1)^{-1}-1/t$. On note $R_\phi$ le conjugué
de $\phi$ (pas très dur à calculer).
On a $\int_0^\infty R_\phi(\lambda)\phi(\lambda/t)d\lambda = t\phi(t)$
par changement de variable.

Or on a aussi $I(s)=\lambda^s \int_0^\infty t^{-s-1}\phi(\lambda /t)dt $
pour tout $\lambda$ réel non nul fixé.
Donc:

\begin{eqnarray}
\int_0^\infty d\lambda \lambda^{-s}R_\phi(\lambda)I(s) &=&
\int_0^\infty dt t^{-s-1} \int_0^\infty d\lambda R_\phi(\lambda) \phi(\lambda/t) \\
&=& \int_0^\infty dt t^{-s-1} t \phi(t) = I(1-s)
\end{eqnarray}

Ca marche du fait que $\int_0^\infty d\lambda \lambda^{-s}R_\phi(\lambda)$ est semi convergente (apres tu tritures un peu cette
integrale pour retrouver la forme classique avec le facteur $\frac{\Gamma(s/2)}{\pi^{s/2}}$ mais l'essentiel est la).

On peut aussi passer par $\zeta_a$ (zeta alternée), car
$\psi(t)=(e^t+1)^{-1}$ est aussi réplicable
(son conjugué est beaucoup plus compliqué, bien que contrairement au
cas précédent, on peut ici appliquer la formule de Said sans probleme,
ou presque a cause des rayons de CV finie), et il faut ruser un peu car
$\int_0^\infty d\lambda \lambda^{-s}R_\psi(\lambda)$ diverge,
mais le principe est sensiblement le meme, et on retombe sur la
meme forme de l'équation fonctionnelle.

A+

Eric

B....t0

Merci c'est bien joli à première vue. Si le triturage n'est pas trop long! Tu retrouves pas d'autres équations fonctionnelles (L)?

Benoit

Eric Chopin

Je voulais mais je ne connais pas une forme integrale generale
des fonctions de Dirichlet (sous forme de transformée de Mellin
comme ici). Je crois avoir vu ca dans une publi que j'ai
téléchargé mais je n'ai pas encore creusé.
Cela dit si tu peux m'eclairer sur la question, ca me fera gagner
du temps. J'imagine qu'on doit pouvoir faire quelque chose
de similaire puisque l'equation fonctionnelle des fonctions de
Dirichlet est assez voisine de celle de zeta, avec quelques
facteurs en plus, mais en gros ca reste grosso modo
du style $A(s)L(s)=L(1-s)$.



A+

Eric

B....t0

Pour la fonction beta de Dirichlet

$\beta(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^x}$

on a déjà :

$\beta(x)=\frac{1}{2\Gamma(x)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\cosh(t)}dt$

borde

Si je peux m'immiscer...Attention : il y a DEUX types d'équations fonctionnelles pour les fcts $L$ de Dirichlet, selon qu'elles sont associées à des caractères primitifs {\bf pairs} ou {\bf impairs}. Il n'y a pas d'équations fonctionnelles pour les caractères non primitifs.

Pour tout caractère {\it primitif} de conducteur $q$, on pose $a = a(\chi) = 1$ si $\chi$ est impair et $0$ sinon. On a l'habitude de noter $\xi(s; \chi) = (\pi/q)^{-(s+a)/2} \Gamma ((s+a)/2) L(s; \chi)$. Alors, l'équation fonctionnelle prend la forme : $$\xi \left ( 1-s ; \overline {\chi} \right ) = W_{\chi} \xi \left ( s; \chi \right )$$ où $W_{\chi}$ est un nombre complexe de module $1$ (root number).

Plus généralement, si $\K$ est un corps de nombres de degré $n$, de signature $(r_1,r_2)$, de valeur absolue du discriminant $d_{\K}$, et si $\chi$ est un caractère de conducteur $F_{\chi}$ dont la norme de la partie finie est notée $f_{\chi}$, on pose $$A_{\chi} = 2^{-r_2} \pi^{-n/2} d_{\K}^{1/2} f_{\chi}^{1/2}.$$ On note également $\xi_{\K} (s ; \chi) = A_{\chi}^s \Gamma_{\chi}(s) L(s; \chi)$ où $L(s ; \chi)$ est la fonction $L$ associée à $\chi$ et $\Gamma_{\chi}$ est la généralisation à $\K$ de la fonction $\Gamma$ usuelle (son expression fait intervenir $\Gamma$ et les éléments invariants de base du corps $\K$. J'ai la flemme de la taper ici !!). Alors, l'équation fonctionnelle de $\xi_{\K}$ prend la forme : $$\xi_{\K} (1-s ; \chi) = W_{\chi} \xi_{\K} (s ; \chi)$$ où $W_{\chi}$ est un nombre complexe de module $1$ (root number. Son expression n'a aucun rôle important).

Ouf !! J'espère que ce message sera utile !

Borde.

B....t0

Salut Borde, tu fais bien de t'immiscer! Je pense que pour la fonction Beta de Dirichlet la méthode d'Eric peut marcher pour retrouver l'équation fonctionnelle. Pour les autres caractères ça me parait dur dur.

borde

Salut Benoit (ça fait plaisir),

Un petit correctif à ce que j'ai écrit plus haut : j'ai oublié la barre de conjugaison dans la deuxième équation fonctionnelle...Lire : $$\xi_{\K} (1-s ; \chi ) = W_{\chi} \xi_{\K} (s ; \overline {\chi} ).$$ (mais tu avais peut-être déjà corrigé toi-même).

A +

Borde.

borde

Merci, Alain, pour la correction...

Borde.

Eric Chopin

Comme dit Benoit, tu fais bien de t'immiscer borde!

En fait ce qu'il faudrait savoir c'est si on sait calculer sous
une forme pas trop compliquée la transfo de Mellin inverse
de ces fonctions pour un caractere primitif quelconque.
Je sais qu'il y a une formule similaire à celle de Bromwich
pour les transfo de laplace mais a part ca.... ???

Il m'a semblé en lisant en diagonale un papier que ca existe
mais j'ai peut etre mal lu.

On va deja essayer avec l'exemple donné par Benoit pour
voir!

A suivre...

Eric

borde

Les inverses des transformées de Mellin se font bien, mais on ne peut pas ne pas séparer les deux cas...En pratique, ces équations fonctionnelles servent à donner des majorations de $|L(1; \chi)|$ qui, elles-mêmes, servent pour majorer des nombres de classes.

Parmi les spécialistes, tu as Olivier Ramaré (il a son site, avec des articles téléchargeables) et Stéphane Louboutin, avec en particulier l'article suivant : {\it Explicit bounds for residues of Dedekind zeta functions, values of L-functions at s=1, and relative class numbers}, J. Number Theory {\bf 85} (2000), 263-282.

En tout cas, j'ai trouvé ce fil très intéressant !

A bientôt,

Borde.

borde

...Pour compléter ce que j'ai dit hier (car je n'en suis que moyennement satisfait), on a l'égalité : soit $\displaystyle {F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac {a_n}{n^s}}$ une série de Dirichlet. Alors : $$\Gamma(s) F(s) = \int_{0}^{\infty} \left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-nt} \right ) t^{s-1} \, dt.$$ (valable bien sûr dans le demi-plan de convergence absolue de $F(s)$).

Borde.

Eric Chopin

Par rapport a l'exemple de Benoit, si on note
$\Gamma(s)\beta(s)=\int_0^\infty \tilde \beta(x) x^{s-1}dx$ avec
${\tilde \beta}=1/(2\cosh(x))$ on a (sous réserve d'erreur de calcul):

$$
R_{\tilde \beta} (x) =\frac{1}{\pi} \cosh\left( \frac{2x}{\pi} \right)
$$

Par contre l'integrale $\int_0^\infty R_{\tilde \beta} (x) x^{-s}$
pour $s$ appartenant à la bande critique diverge a mon avis
beaucoup trop fort pour qu'une ruse quelconque permettent
d'obtenir par ce biais une equation fonctionnelle (pour $R_\psi$
la ruse consiste à considerer $R_\psi(2x)-R_\psi(x)$ qui est une
somme de 2 sinus).

En verifie t'elle une d'ailleurs ? Est-ce qu'elle verifie le critere
de borde (caractere primitif?). Sinon ca risque de mettre en
echec ma methode dans le cas general, mince alors !!! ... ;-)

Surtout qu'en fait il n'est meme pas sur que $\tilde \beta$ soit
replicable sur $R_+$... on ne peut en effet garantir l'égalité
$\int R_{\tilde \beta}(tx){\tilde \beta}(x) $ que pour $|x|

borde

Je fais remonter ce fil, car il me semble qu'Eric pourrait éventuellement adapter sa méthode aux fonctions $\zeta_{\K}$ de Dedekind, dont la généralisation à partir de la fct $\zeta$ de Riemann me semble plus appropriée que les fcts $L$.

Rappelons qu'ici $\K$ est un corps de nombres de degré $n \leqslant 2$ auquel on associe les invariants suivants : signature $(r_1,r_2)$, valeur absolue du discriminant $d_{\K}$ et on a l'habitude de poser $\Gamma_{\K} (s) = \Gamma^{r_1} (s/2) \Gamma^{r_2} (s)$ et $A_{\K} = 2^{-r_2} \pi^{-n/2} d_{\K}^{1/2}$. Alors, si $\xi_{\K} (s) = A_{\K}^s \Gamma_{\K} (s) \zeta_{\K} (s)$, on a l'équation fonctionnelle : $$\xi_{\K} (s) = \xi_{\K} (1-s).$$

Bon courage,

Borde.

Eric Chopin

Tu aurais un exemple concret borde? Que je vois si j'arrive
a en tirer quelque chose?

A+

eric

borde

Salut Eric,

On s'est croisé...La fonction $\beta$ de Benoit est en fait la fonction $L(s; \chi_4)$ associée à l'unique caractère $\chi_4$ réel primitif modulo $4$ donné par $\chi_4(2n+1) = (-1)^n$, donc pas de pb pour l'aspect primitif.

En ce qui concerne mon second post, tu pourrais peut-être (?) essayer les corps de nombres les plus simples : les corps quadratiques $\K = \Q(\sqrt d)$ avec $d \in \Z - \{ 0,1 \}$ (et supposé être 2-libre). Dans ce cas, $n = 2$, $(r_1,r_2) = (2,0)$ si $d > 0$, $(r_1,r_2) = (0,1)$ si $d

Eric Chopin

Bon je viens de trouver une erreur de calcul et la j'ai
un resultat beaucoup plus interessant (confirmé numeriquement):

$$
R_{\tilde \beta} (x) =\frac{2}{\pi} \cos\left( \frac{2x}{\pi} \right)
$$


La conclusion est donc qu'a 99% de chances (il faut faire toutes
les justifications et ca prend quelques pages de calcul), ma methode
marche aussi pour $\beta$ !!!

a+

eric

Eric Chopin

ooouups le parser latex n'a pas aimé le pourcent, evidemment ...

Je disais donc:
La conclusion est donc qu'a 99 pourcent de chances (il faut faire toutes
les justifications et ca prend quelques pages de calcul), ma methode
marche aussi pour $\beta$ !!!

eric

Eric Chopin

Pour borde: si je prend au plus simple, par exemple
$\K = \Q(\sqrt{2})$, est-ce que tu as une idée pour obtenir
la transfo de Mellin inverse de $\zeta_{\K}$?

a+

eric

borde

Salut Eric,

Ce n'est pas évident...Ce qui suit doit être vérifié ! Avec la formule mise dans mon message de 12h03 hier, il est possible que l'on ait, modulo les erreurs de calculs : si $\K = Q (\sqrt d)$ et si $s > 1$, $$\Gamma(s) \zeta_{\K}(s) = c \times \int_{0}^{\infty} \left ( 1 + \frac {1}{t} \right ) e^{-t} t^{s-1} \, dt$$ où $\displaystyle {c = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac {d_{\K}}{n} \right ) \frac {1}{n}}$. La formule du nombre de classes de Dirichlet donne une expression plus simple de $c$ : si $d 0$, alors $$c = \frac {2 h(d) \ln (\varepsilon)}{d_{\K}^{1/2}}$$ où $h(d)$ est le nombre de classes de $Q(\sqrt d)$ et $\varepsilon$ est une unité fondamentale dans le cas $d > 0$. Ceci dit, je ne suis pas sûr de moi quant à la transformée inverse de Mellin ci-dessus. A toi de voir...Bon courage !

Borde.

Eric Chopin

La forme du produit $\Gamma\zeta_\K$ ne depend pas de $d$,
c'est normal?
Je vais voir si on peut facilement prolonger ca analytiquement
dans la bande critique, parce qu'a la base de mes calculs il y a
quand meme que le domaine d'existence contienne au moins
une bande symétrique $s \leftrightarrow 1-s$.

Je vais essayer de creuser ca.

Merci de tes suggestions en tout cas.

A+

Eric

borde

Si, $d$ est contenu dans le nombre $c$ (dans $d_{\K}$ plus précisément), mais cela ne rend pas cette "formule" plus juste pour autant...A vérifier, donc. Quant à un éventuel prolongement, $\zeta_{\K}$ peut être prolongée analytiquement dans le demi-plan $\sigma > 1 - 1/n$ où $n$ est le degré de $\K$ ($n=2$ ici), mais je ne sais pas si cela répond de façon précise à ta question...Si tu l'as, va donc jeter un coup d'oeil dans le livre de Serge Lang : {\it Algebraic Number Theory}, Springer, GTM 110 (attention : les notations employées auraient pu être plus adaptées, je trouve).

En tout cas, ce fil constitue pour moi l'un des plus difficiles que j'ai eu à traiter ici !

A bientôt,

Borde.

Eric Chopin

Oui je suis d'accord pour le $c$, je voulais dire que
"hormis la constante en facteur", la forme de la fonction ne depend
pas de $d$ (cela dit pourquoi pas, je n'y connais pas grand chose dans
ces fonctions). Par contre je ne comprend pas pourquoi ces
fonctions ne peuvent pas s'etendre plus loin ( a gauche) que
$1-1/n$, je ne vois pas la coherence avec la conjecture de Riemann
généralisée qui dit que ces fonctions ne s'annulent que
sur la droite critique (ou sur les zeros de $1/\Gamma$).

Sinon j'ai deja trouvé sur le net la forme de l'equation
fonctionnelle des zeta de Dedekind:

http://math.stanford.edu/~brubaker/dedekindzeta.pdf

22 pages pour y arriver, gousp! Bon c'est tres détaillé quand meme.
Je vais jeter un oeil la dessus. Je te (vous) tiens au courant si j'arrive
a quelque chose.

A+

Eric

borde

Je n'ai pas encore lu ton lien ci-dessus, mais la méthode classique consiste à utiliser la "forme intégrale de Hecke", dont une présentation est donnée dans le ivre de Lang cité plus haut.

A +

Borde.

borde

Salut Eric,

J'ai lu ton lien, et il refait effectivement la preuve donnée par Hecke, et reprise dans le livre de Lang.

Pour l'équation fonctionnelle propement dite, tu peux ignorer le passage du théorème de Dirichlet concernant la structure du groupe des unités d'un corps de nombres, pas utile directement pour l'établissement de l'équation fonctionnelle.

Bon courage,

Borde.

Eric Chopin

Merci borde,

Je vais donc lire ce pdf un peu en detail.

Sinon je viens de voir pour les fonctions $L$ qu'on peut les
ecrire comme combinaison lineaire finie de fonctions $\zeta_H(s,p/q)$
de Hurwitz avec des parametres rationnels, et ces fonctions
ont le bon gout d'avoir une representation integrale sous forme de
transfo de Mellin. Si j'arrive a prolonger analytiquement dans
la bande critique je devrais pouvoir en tirer un conjugué répliquant
(enfin j'espère, puisque ca marche nickel pour $\chi_4$).

$$
L(s,\chi)=k^{-s}\sum_{r=1}^k \chi(r)\zeta(s,r/k)
$$

et si $Re(s)>1$
$$
\Gamma(s)\zeta(s,a)=\int_0^\infty \frac{t^{s-1}e^{-at}dt}{e^t-1}
$$

Comme prolongement quand $0

borde

Oui : pour $\chi \not = \chi_0$ caractère de module $q$, la fonction $L(s ; \chi)$ est holomorphe dans le demi-plan $\sigma > 0$ et on a bien $$L(s ; \chi) = q^{-s} \sum_{a=1}^{q} \chi(a) \zeta \left ( s ; \frac {a}{q} \right )$$ pour $\sigma > 1$ et $$\sum_{n=1}^{Nq} \frac {\chi(n)}{n} = q^{-1} \sum_{a=1}^{q} \chi (a) \sum_{n=0}^{N-1} \frac {1}{n + a/q}.$$ Une petite curiosité aussi : si $\chi$ est {\bf impair}, $$L(1 ; \chi) = \frac {\pi}{2q} \sum_{a=1}^{q} \chi (a) \cot \frac {\pi a}{q}.$$ La recherche actuelle utilise fréquemment toutes ces relations. Voir à ce sujet les articles de Stéphane Louboutin ou de Wenpeng Zhang.

Borde.

Eric Chopin

Je viens d'avoir un premier résultat pour les fonctions $L$ de Dirichlet.

Je part de mon prolongement analytique qui m'a l'air correct:

$$
\Gamma(s)\zeta(s;a)=\int_0^\infty t^{s-1}\left(
\frac{e^{-at}}{e^t-1}-\frac{1}{t}\right)dt
$$
on a
$$
k^s \Gamma(s)L(s,\chi) = \int_0^\infty t^{s-1}
\Phi_L(t) dt
$$

avec $\Phi_L(t) = \sum_{r=1}^k \chi(r)\left( \frac{e^{-rt/k}}{e^t-1}
-\frac{1}{t}\right)$, alors si $R_{\Phi_L}=\sum_{n=1}^\infty a_n t^n$
on a:

$$
a_n=\frac{1}{k^{n+1}n!(n+1)!}\frac{\sum_{r=1}^k \chi(r)B_{n+1}(-r/k)}{\sum_{r=1}^k \chi(r)\zeta(n+1;r/k)}
$$

Je soupconne une certaine proportionalité entre $B_{n+1}(-r/k)$
et $\zeta(n+1;r/k)$ .... Tu ne connaitrais pas ca Borde, par hasard?
Ou quelqu'un d'autre bien sur.

a+

eric

borde

En attendant que je fasse une recherche plus approfondie, on sait que $$\zeta(-n) = (-1)^n \frac {B_{n+1}}{n+1}$$ pour tout entier $n \geqslant 0$ ce qui laisse espérer un résultat similaire avec les fonctions zéta de Hurwitz.

A bientôt,

Borde.

borde

...Re-Salut,

Ce que je pressentais s'est confirmé : soit $0 1$. Alors :

1. Pour tout entier $n \geqslant 0$, on a : $$\zeta(-n ; a) = - \frac {B_{n+1}(a)}{n+1}.$$

2. Equation fonctionnelle : pour $\sigma = \Re s

borde

<!--latex-->Lire au début : <!-- MATH $0 < a \leqslant 1$ --><IMG WIDTH="71" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/05/4/58183/cv/img1.png&quot; ALT="$ 0 < a \leqslant 1$"> (et il manque une accolade de fin dans l'équation fonctionnelle).
<BR>
<BR>Borde.<BR>